Теория:

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство f(x)0 (причем равенство f(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке) , то функция y=f(x)) возрастает на промежутке \(X\).

augoša funk..bmp

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство f(x)0 (причем равенство f(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке \(X\).

dilst_funk.bmp

Итак:
если существует производная функции в интервале \((a,b)\) и в данном интервале
1) f(x)0, то функция в нём не убывает;
2) f(x)0, то функция в нём не возрастает;
3) f(x)>0, то функция в нём возрастает;
4) f(x)<0, то функция в нём убывает.
 
Пример:
Необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x34x216x+17.
 
Сначала находим производную: f(x)=(x34x216x+17)=3x28x16.
Это парабола, которая пересекает ось x  в точках x1=43 и x2=4 и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале 43;4 (функция убывает) и положительна в интервалах ;43 и (4;+) (функция возрастает).
 
Ответ: 
функция f(x)=x34x216x+17 возрастает в интервалах ;43 и (4;+), убывает в интервале 43;4.