Теория:

Теорема  (условие постоянства функции).

 Для того чтобы непрерывная функция \(y=f(x)\) была постоянна на промежутке \(X\), необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка производная функции была равна нулю.

Пример:

Доказать, что если α<β, то α+cosα<β+cosβ.

Решение . Рассмотрим функцию \(y=f(x)\), где f(x)=x+cosx, и найдём ее производную:

f(x)=x+cosx=1sinx.

 f(x)0 при любом значении \(x\), причем f(x)=0 не на сплошном промежутке, а лишь в точках вида x=π2+2πn. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой, а потому, из α<β следует f(α)<f(β), т.е. α+cosα<β+cosβ.