Теория:

Пусть даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); пусть известно, что существует f(a).
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид \(y=kx+m\), поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов \(k\) и \(m\).

Известно, что k=f(a). Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
Это значит, что если подставить координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

y=kx+my=kx+(f(a)ka)y=f(a)+k(xa)y=f(a)+f(a)(xa).

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)

1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a\).

2. Вычислить \(f(a)\).

3. Найти f(x) и вычислить f(a).

4. Подставить найденные числа \(a\), \(f(a)\), f(a) в формулу y=f(a)+f(a)(xa).

Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство Δyf(x)Δx

или, подробнее, f(x+Δx)f(x)f(x)Δx.

43. vienād..bmp

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:  вместо \(x\) будем писать \(a\), вместо x+Δx будем писать \(x\) и, соответственно, вместо Δx будем писать \(x-a\). Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

f(x)f(a)f(a)(xa)  илиf(x)f(a)+f(a)(xa)

Cмысл приближенного равенства в том,что в качестве приближенного значения функции в точке \(x\) берут значение ординаты касательной в той же точке.