Теория:

Теорема 1.

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\), то и их сумма имеет производную в точке \(x\), причем производная суммы равна сумме производных:

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)

Теорема 2.

Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x\), то и функция \(y=kf(x)\) имеет производную в точке \(x\), причем:

(kf(x))=kf(x)

Теорема 3.

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\), то и их произведение имеет производную в точке \(x\), причем:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)

На практике эту теорему формулируют так:

производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\) и в этой точке g(x)0, то и функция y=f(x)g(x) имеет производную в точке \(x\), причем:

f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)

Короче:

(k1u+k2v)=k1u+k2v(uv)=uv+uvuv=uvuvv2

Пример:
u=x2v=sinx1.(2x23sinx)=2(x2)3(sinx)=22x3cosx=4x3cosx2.(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx3.x2sinx=(x2)sinxx2(sinx)(sinx)2=2xsinxx2cosxsin2x