Теория:

Функцию \(y=f(x)\), xX называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества \(X\) (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Теорема 1
Если функция  \(y=f(x)\), xX монотонна на множестве \(X\), то она обратима.
Пусть \(y=f(x)\), xX - обратимая функция и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому \(y\) из \(Y\) единственное значение \(x\), при котором f(x)=y (т.е. единственный корень уравнения f(x)=y относительно переменной \(x\)). Тогда получим функцию, которая определена на \(Y\), а \(X\) - область её значений. Эту функцию обозначают x=f1(y),yY и называют обратной по отношению к функции \(y=f(x)\), xX.
Теорема 2
Если функция \(y=f(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(X\), а \(Y\) - область значений функции, то обратная функция x=f1(y),yY возрастает (убывает) на множестве \(Y\).
 
Теорема 3
Точки \(M(a; b)\) и \(P(b; a)\) симметричны относительно прямой \(y=x\).
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой \(y = f(x)\), следует выразить \(x\) через \(y\), а в полученной формуле \(x = g(y)\) заменить \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\).
Пример:
Дана функция y=x2,x0;+). Найти обратную функцию.
Заданная функция возрастает на промежутке 0;+), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x2 находим:  x=y или x=y. Промежутку 0;+) принадлежат лишь значения функции x=y. Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке 0;+).
Поменяв местами \(x\) и \(y\), получим: y=x,x0;+). График этой функции получается из графика функции y=x2,x0;+) с помощью симметрии относительно прямой \(y=x\).
obratnaja.png