Теория:

Функция y=ctgx монотонна на каждом из следующих интервалов: π;0,0;π,π;2π и т.д.
Значит, на каждом из указанных промежутков функция y=ctgx имеет обратную функцию.
 
Это различные обратные функции, но обычно выбирают функцию, обратную к функции y=ctgx, где x0;π
Её обозначают x=arcctgy. Поменяв, как обычно, x и y местами, получим y=arcctgx, т.е. функцию, обратную к функции y=ctgx, гдеx0;π.
 
Поэтому, график функции y=arcctgx можно получить из графика функции y=ctgx, x0;π с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x.
 
arcctgx.png
 
Свойства функцииy=arcctgx
1. Df=;+
 
2. E(f)=0;π
 
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к. график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси y.
 
4. Функция убывает.
 
5. Функция непрерывна.
 
arcctga - это такое число из интервала 0;π, котангенс которого равен a
 
Итак, arcctga=tctgt=a,0<t<π;ctgarcctga=a
 
Для арккотангенса имеет место соотношение, аналогичное для арккосинуса
 arcctga=πarcctga
 
Источники:
Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10кл. Изд. "Мнемозина" Москва, 2009.