Теория:

Формулы  двойного  аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.
Эти формулы устанавливают соотношение между \(sin  2 x,  cos  2 x,  tg  2 x\) и \(sin  x,  cos  x,  tg  x\).
 
Последовательно приведем и докажем формулы  двойного  аргумента для функций синуса,  косинуса   и   тангенса.
 
1. Рассмотрим выражение \(sin  2 x\) - представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\) и воспользуемся известной формулой синуса  суммы  аргументов:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
Тогда  получим:
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
Итак, 
формула синуса  двойного  аргумента:  sin2x=2sinxcosx
 
2. Рассмотрим выражение \(cos  2 x\) и аналогично представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), а также воспользуемся известной формулой косинуса  суммы  аргументов:
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ.
Тогда  получим:
cos2x=cos(x+x)=cosxcosxsinxsinx=cos2xsin2x
Итак, 
формула косинуса двойного аргумента: cos2x=cos2xsin2x
 
3. Теперь рассмотрим выражение \( tg 2 x\) и вновь представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), что даст возможность воспользоваться известной формулой тангенса  суммы  аргументов:
 tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ.
Тогда  получим:
tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1tgxtgx=2tgx1tg2x
 
формула тангенса двойного  аргумента: tg2x=2tgx1tg2x
 
Обрати внимание!
Формулы синуса  двойного  аргумента и косинуса  двойного  аргумента справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула тангенса двойного  аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента \( x \), для которых определены функции \( tg x\) и \( tg 2 x\), а также отличен от нуля знаменатель дроби, т.е.1tg2x0.
Это равносильно одновременному выполнению условий:      
xπ2+πk,kxπ4+πn,n.
 
Разумеется, все полученные формулы применимы и в тех случаях, когда место аргумента \(x\) занимает более сложное выражение, например, справедливы следующие соотношения:  
sin4x=2sin2xcos2x
 
sinx=2sinx2cosx2  - кстати, эту формулу иногда называют формулой \(половинного\)  \(аргумента\)
 
cos48°=cos224°sin224°
 
cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)sin2(x+3y)
 
tg(2π32t)=tg(2(π3t))=2tg(π3t)1tg2(π3t)  и т.п.
 
Любую из полученных формул двойного аргумента можно использовать как слева направо, так и справа налево (сворачивать) для решения \(тригонометрических\) \(выражений\).