Теория:

Перед тем как начать подробное ознакомление с формулами преобразования тригонометрических выражений, поясним, для чего  вообще нужны преобразования тригонометрических выражений. 
 
Дело в том, что очень часто тригонометрические выражения даже самого «устрашающего» вида после несложных преобразований довольно легко приводятся к выражениям с табличным значением аргумента — таким, например, как: 30°(π6),45°(π4),60°(π3)... или к таким выражениям, решение которых найти гораздо проще, чем решение исходного тригонометрического выражения. 
 
В этом и заключается основная цель преобразования тригонометрических выражений — привести заданное выражение к такому виду, чтобы найти его решение было проще.
 
А средством для достижения этой цели — её «инструментом» — и являются формулы преобразования тригонометрических выражений,
знакомство с которыми мы начнём с изучения наиболее важных из них — формул синуса и косинуса суммы аргументов.
 
Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражений, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии.
 
Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически довольно сложно, и оно не входит в базовый курс обучения. 
 
Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово «аргументов» из названий формул — это общепринятая практика — и, говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности), будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности)  аргументов этих функций.
 
Формула синуса суммыsin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.        (1)
 
Формула косинуса суммы:  cos(x+y)=cosxcosysinxsiny.       (2)
 
Рассмотрим теперь выражение sin(xy)  в таком виде: sin(x+(y)) — и воспользуемся формулой синуса суммы (1): sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y).
 
Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинусcos(y)=cosy —
и свойстве нечётности функции синусsin(y)=siny.
 
Тогда:
sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y)=sinxcosycosxsiny.
 
Формула синуса разностиsin(xy)=sinxcosycosxsiny.    (3)
Аналогично, представив cos(xy) в виде cos(x+(y)), воспользуемся формулой косинуса суммы (2), 
и свойствами чётности функции косинус  cos(y)=cosy,
и нечётности функции синус  sin(y)=siny.
 
Тогда получим:
cos(x+(y))=cosxcos(y)sinxsin(y)=cosxcosy+sinxsiny.
 
Формула косинуса разностиcos(xy)=cosxcosy+sinxsiny.   (4)