Теория:

Преобразование выражения  A sin xB cos x к виду Csin(x+t)
На практике, например при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вида  A sin xB cos x, причём возникает необходимость свести эту сумму к одной тригонометрической функции.
 
Рассмотрим для примера выражение 3sinx+cosx. Если переписать данное выражение в виде 232sinx+12cosx и учесть, что 32=cosπ6,12=sinπ6, то можно заметить, что выражение в скобках представляет собой правую часть формулы "синус суммы" для аргументов \(x\) и π6.
Таким образом, 232sinx+12cosx=2cosπ6sinx+sinπ6cosx=2sinx+π6.
Итак, 3sinx+cosx=2sinx+π6.
 
Выражение вида  A sin xB cos x (для случая, когда A=3,B=1) мы преобразовали к виду Csin(x+t).
Конкретнее, у нас получилось, что \(C=2\), t=π6.
 
Обрати внимание!
Что C=A2+B2. В самом деле A2+B2=32+12=4=22=C2.
 
Оказывается, это неслучайно — на подобной идее основано преобразование любого выражения  A sin xB cos x.
 
Введём обозначение: C=A2+B2. Заметим, что AC2+BC2=1.
В самом деле, AC2+BC2=A2C2+B2C2=A2+B2C2=C2C2=1.
 
Это значит, что пара чисел - AC, BC удовлетворяет уравнению x2+y2=1, т.е. точка с координатами AC;BC лежит на числовой окружности. Но тогда AC есть косинус, а BC синус некоторого аргумента \(t\), т.е. AC=cost,BC=sint.
 
Учитывая всё это, поработаем с выражением  A sin xB cos x:
Asinx+ Bcosx=CACsinx+BCcosx=Ccostsinx+sintcosx=Csinx+t.
Итак, Asinx+ Bcosx=Csinx+t, где C=A2+B2.
Обычно аргумент \(t\) называют вспомогательным аргументом.