Теория:

Если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то
абсциссу точки \(M\) называют косинусом числа \(t\) и обозначают \(cos t\),
а ординату точки \(M\) называют синусом числа \(t\) и обозначают \(sin t\).
един окр.61.png
 
Итак, если
тогда Mt=Mx;yx=costy=sint 
 
Отсюда следует, что 1cost11sint1 (см. рис.)
Отношение синуса числа \(t\) к косинусу того же числа называют тангенсом числа \(t\) и обозначают \(tg t\).
Отношение косинуса числа \(t\) к синусу того же числа называют котангенсом числа \(t\) и обозначают \(ctg t\).
Получим, что: tgt=sintcost;ctgt=costsint
Из уравнения числовой окружности x2+y2=1, заменяя \(x\) и \(y\) на \(cos t\) и \(sin t\), получаем равенство
 cos2t+sin2t=1
 
Отметим также несколько важных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Свойство 1. Для любого значения \(t\) справедливы равенства:
sin(t)=sint;cos(t)=cost;tg(t)=tgt;ctg(t)=ctgt.
 
Свойство 2. Для любого значения \(t\) справедливы равенства:
sin(t+2πk)=sintcos(t+2πk)=cost
 
Свойство 3. Для любого значения \(t\) справедливы равенства:
sin(t+π)=sint;cos(t+π)=cost;tg(t+π)=tgt;ctg(t+π)=ctgt.
 
Будут верны и такие равенства:
tg(t+πk)=tgt;ctg(t+πk)=ctgt.
 
Свойство 4. Для любого значения \(t\) справедливы равенства:
sint+π2=cost;cost+π2=sint.
 
Для синуса и косинуса есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности.
 
Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.
Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке \(A\).
Эту касательную \(l\) будем считать числовой прямой, ориентированной также как ось \(y\) и с началом в точке \(A\) (см. рис.) 
един окр.51.png
Из подобия треугольников \(OMK\) и \(OPA\) следует равенство:  
MKOK=PAOA;sintcost=PA1
 
Т.е. \(PA = tg t\).
Итак, если числу \(t\) соответствует на числовой окружности точка \(M\), то проведя прямую \(OM\),
получим в пересечении её с числовой прямой \(l\) точку \(P\), которая имеет на числовой прямой \(l\) координату \(tg t\).
Числовую прямую \(l\) называют линией тангенсов.
 
Аналогично можно ввести линию котангенсов - числовая прямая \(m\) с началом в точке \(B\) (см. рис.).
един окр.52.png