Теория:

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.
Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение. Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.
 
Рассмотрим иррациональное уравнение 2x+1=3.
 
Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2x+12=32. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению \(2x + 1 = 9\), возведя в квадрат обе части иррационального уравнения.
Обрати внимание!
Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений.
Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня?
 
Из уравнения \(2x + 1 = 9\) находим \(x = 4\). Это корень как уравнения \(2х + 1 = 9\), так и заданного иррационального уравнения.
 
Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям.
Рассмотрим, например, иррациональное уравнение 2x5=4x7.
Возведя обе его части в квадрат, получим 2x52=4x722x5=4x7.
Далее имеем: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).
 
Но значение \(x = 1\), будучи корнем рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив \(1\)  вместо \(x\) в заданное иррациональное уравнение, получим 3=3.
 
Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла?
В подобных случаях говорят: \(x = 1\) — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
 
Посторонний корень — не новое для тебя понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка.
 
Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).
Обрати внимание!
Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.
Используя этот вывод, рассмотрим пример.
Пример:
Реши уравнение 5x16=x2.
Возведем обе части уравнения 5x16=x2 в квадрат: 5x162=x22.
Преобразовываем и получаем,
5x16=x24x+4x2+9x20=0x29x+20=0x1=5;x2=4
 
Проверка. Подставив \(x = 5\) в уравнение 5x16=x2, получим 9=3 — верное равенство. Подставив \(x = 4\) в уравнение 5x16=x2, получим 4=2 — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения 5x16=x2.
Ты уже накопил некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Ты знаешь, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение pxqx=0 уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.
 
Конечно, ты обратил внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить всё это с теоретической точки зрения.
Два уравнения \(f (x) = g (x)\) и \(r(x) = s (х)\) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.
 
Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
 
1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\)  равносильны.
 
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения 0,5x20,3x=2, уравнением 5x23x=20 (обе части уравнения умножили почленно на \(10\) есть равносильное преобразование уравнения.
 
Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
 
1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения x2x2=4x2 уравнением x2=4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение x2=4 имеет два корня: \(2\) и (- 2\), а заданному уравнению значение \(x = 2\) удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: \(x = 2\) — посторонний корень.
 
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Обрати внимание!
Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.