Теория:

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой
\(y = kx + m\), где \(x\) – независимая переменная, \(k\) и \(m\) – некоторые числа.
Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).
Пусть \(y = 0,5x - 2\).
Тогда:
если  \(x = 0\), то \(y = - 2\);
если  \(x = 2\), то \(y = - 1\);
если  \(x = 4\), то \(y = 0\) и т.д.
 
Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:
\(x\)\(0\)\(2\)\(4\)
\(y\)\(-2\)\(-1\)\(0\)
\(x\) - независимая переменная (или аргумент),
\(y\) - зависимая переменная.
Графиком линейной функции \(y = kx + m\) является прямая.
Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.
 
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.
 
lineara1.png
 
Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.
Пример:
На складе было \(500\) т угля. Ежедневно стали подвозить по \(30\) т угля. Сколько угля будет на складе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?
 
Если пройдёт \(x\) дней, то количество \(y\) угля на складе (в тоннах) выразится формулой \(y = 500 + 30x\).
 
Таким образом, линейная функция \(y = 30x + 500\) есть математическая модель ситуации.
При \(x = 2\) имеем \(y = 560\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 620\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 800\) и т.д.
Однако надо учитывать, что в этой ситуации x.
Если линейную функцию \(y = kx + m\) надо рассматривать не при всех значениях \(x\), а лишь для значений \(x\) из некоторого числового множества \(X\), то пишут y=kx+m,xX.
Пример:
Построить график линейной функции:
a) y=2x+1,x3;2  b) y=2x+1,x3;2
 
Составим таблицу значений функции:
\(x\)\(-3\)\(2\)
\(y\)\(7\)\(-3\)
 
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-3;7)\) и \((2;-3)\) и
проведём через них прямую.
 
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции y=2x+1,x3;2.
Точки \((-3;7)\) и \((2;-3)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
 
lineara2.png
 
b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-3\) и \(x=2\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-3;2)\). 
Поэтому точки \((-3;7)\) и \((2;-3)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
 
lineara3.png
 
Рассматривая график линейной функции на отрезке, можно назвать наибольшее и наименьшее значение линейной функции.
 
В случае
a) y=2x+1,x3;2 имеем, что yнаиб\(= 7\) и yнаим\(= -3\),
b) y=2x+1,x3;2 имеем, что ни наибольшего и ни наименьшего значений линейной функции нет, так как оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, исключены из рассмотрения.
В ходе построения графиков линейных функций, можно как бы «подниматься в горку» или «спускаться с горки», т.е. линейная функция или возрастает или убывает.
Если \(k>0\), то линейная функция  \(y = kx + m\) возрастает;
если \(k<0\), то линейная функция  \(y = kx + m\) убывает.