Теория:

Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.
Например, x214x + 45  — многочлен представлен в виде суммы одночленов. После разложения на множители многочлен примет вид
\((x + 5) (x + 9)\), где \(x + 5\) и \(x + 9\) являются множителями.
Пример:
задание. Разложить число \(36\) на два множителя различными способами.
Решение:
36 = 218;36 = 312;36 = 49.
 
Для разложения многочлена на множители используют такие способы:
 
1. вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен \(7a – 7b\).
Решение: \(7a – 7b = 7(a – b)\).
Вынесли общий множитель за скобки, получили произведение двух множителей: \(7\) и \(a-b\).
2. Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 9x225y2=32x252y2=(3x)2(5y)2=(3x5y)(3x+5y).
3. Метод группировки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 35ab+7a5b1=(35ab5b)+(7a1)=5b(7a1)+(7a1)=(7a1)(5b+1).
 
Умение раскладывать на множители необходимо для преобразования выражений, при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и неравенств.
Пример:
задание. Упростить выражение.
Решение: 25a2(5+a)(13a)=52a2(5+a)(13a)=(5a)(5+a)(5+a)(13a)=5a13a
— в числителе применили формулу «разность квадратов»;
— сократили дробь на выражение \(5+ а\).
Пример:
задание. Решить уравнение:
4x2+8xx2=0;(4x2x)+(8x2);x(4x1)¯+2(4x1)¯=0;(4x1)¯(x+2)=0;
4x1=0;4x=1;x1=0,25; или x+2=0;x=2;x2=2.
Ответ: \(-2;0,25\)
— сгруппировали;
— вынесли общие множители за скобки в каждой скобке;
— вынесли общие множители слагаемых за скобки.
 
Подробнее перечисленные выше способы рассмотрим далее, в отдельных темах.