Теория:

Функция y=kx2 и её график
В 7-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2 и пришли в итоге к выводу о том, что уравнение с двумя переменными вида \(у = f(x)\) (функция) есть математическая модель, удобная для того, чтобы, задав конкретное значение независимой переменной \(x\) (аргумента), вычислить соответствующее значение зависимой переменной \(y\).
 
На самом деле функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: если \(k = 1\), то получаем y=x2; эту функцию мы изучили в 7-м классе и, наверное, помнишь, что её графиком является парабола.
 
parabola.png
 
Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента \(k\).
Рассмотрим две функции: y=2x2 и y=0.5x2. Составим таблицу значений для первой функцииy=2x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(1.5\)\(-1.5\)
\(y\)\(0\)\(2\)\(2\)\(8\)\(8\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Построим точки \((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию, проведём её.
 
1.png
 
Составим таблицу значений для второй функции y=0.5x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(0.5\)\(0.5\)\(2\)\(2\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Построим точки \((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию, проведём её.
 
2.png
 
Сравни полученные рисунки. Не правда ли, проведённые линии похожи? Каждую из них называют параболой.
Точку \((0; 0)\) называют вершиной параболы, а ось \(y\) — осью симметрии параболы.
Обрати внимание!
От величины коэффициента \(k\) зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как ещё говорят, «степень крутизны» параболы.
Точно так же обстоит дело с любой другой функцией вида y=kx2, где \(k > 0\).
Графиком её является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причём тем круче, чем больше коэффициент \(k\).
Ось \(y\) является осью симметрии параболы.
 
Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции y=kx2», говорят «парабола y=kx2», а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы».
 
Ты замечаешь, что имеется аналогия с функцией \(у = kx\)?
Если \(k > 0\), то графиком функции \(у = kx\) является прямая, проходящая через начало координат (помнишь, мы говорили коротко: прямая \(у = kx\)), причём и здесь от величины коэффициента \(k\) зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на рисунке, где в одной системе координат изображены графики линейных функций \(у = kx\) при трёх значениях коэффициента \(k\).
 
3.png
 
Вернёмся к функции y=kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента \(k\). Построим, например, график функции y=x2 (здесь \(k = - 1\)). Составим таблицу значений:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(-4\)\(-4\)\(-9\)\(-9\)
 
Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию, проведём её.
 
minpar.png
 
Это парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), ось \(y\) — ось симметрии, но в отличие от случая, когда \(k > 0\), на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента \(k\).
 
Обрати внимание!
Итак, графиком функции y=kx2 k0 является парабола с вершиной в начале координат; ось \(y\) является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при \(k>0\) u вниз при \(k<0\).
Отметим ещё, что парабола y=kx2 касается оси \(x\) в точке \((0; 0)\), т. е. одна ветвь параболы плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси \(x\).
 
Если построить в одной системе координат графики функций  y=kx2 и y=x2, то нетрудно заметить, что эти параболы симметричны друг другу относительно оси \(x\), что хорошо видно на рисунке.
 
5.png
 
Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы y=2x2 и  y=2x2.
 
6.png
 
Обрати внимание!
Вообще, график функции \(у = - f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.