Теория:

Одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближённого значения действительного числа, это графическое решение уравнений.

Есть и вторая причина, это действительные числа, т.е. бесконечные десятичные дроби. Ведь производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближёнными значениями действительных чисел.

Пример:

 Для числа π\(=3,141592...\) пользуются приближённым равенством:

1) π\(3,141\) — это называют приближённым значением (или приближением) числа π по недостатку с точностью до \(0,001\)

или

2) π\(3,142\) — это называют приближённым значением (приближением) числа π по избытку с точностью до \(0,001\).

Приближение по недостатку и приближение по избытку называют округлением числа.

Погрешностью приближения \(h\)(абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины \(x\) и её приближённым значением \(a\): погрешность приближения — это xa.

Погрешность приближённого равенства  π\(3,141\) или π\(3,142\) выражается как π3,141 или соответственно как π3,142.
Правило округления.
Если первая отбрасываемая цифра меньше \(5\), то нужно брать приближение по недостатку; если первая отбрасываемая цифра больше или равна \(5\), то нужно брать приближение по избытку.
π\(=3,141592...\). С точностью до \(0,001\) имеем π\(3,142\); здесь первая отбрасываемая цифра равна \(5\) (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.
Пример:

С точностью до \(0,0001\) имеем π\(3,1416\) — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна \(9\).

А вот с точностью до \(0,01\) надо взять приближение по недостатку: π\(3,14\).

Если \(a\) — приближённое значение числа \(x\) и xah, то говорят, что абсолютная погрешность приближения не превосходит \(h\) или что число \(x\) равно числу \(a\) с точностью до \(h\).