Теория:
Квадратным уравнением называют уравнение вида , где коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) — любые действительные числа, причём .
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен \(1\);
квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от \(1\).
Так, уравнение — неприведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен \(3\)),
а уравнение — приведённое квадратное уравнение.
Кроме приведённых и неприведённых квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты \(b\) и \(c\) отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов \(b\), \(c\) равен нулю.
Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной \(x\), при котором квадратный трёхчлен обращается в нуль; такое значение переменной \(x\) называют также корнем квадратного трёхчлена.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1. Если уравнение имеет вид , то оно имеет один корень: \(x=0\).
2. Если уравнение имеет вид , то используется метод разложения на множители: \(x(ax + b) = 0\); значит, либо \(x = 0\), либо \(ax + b = 0\). В итоге получаем два корня: .
3. Если уравнение имеет вид , то его преобразуют к виду и далее .
В случае, когда — отрицательное число, уравнение не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ).
В случае, когда — положительное число, т. е. , где \(m > 0\), уравнение имеет два корня: , . В этом случае допускается более короткая запись: .
Обрати внимание!
Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
Квадратное уравнение может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.