1. Основные понятия квадратных уравнений

Теория:

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты \(a, b, c\) — любые действительные числа, причём a≠0.
Коэффициенты \(a, b, c\) различают по названиям: \(a\) — первый, или старший, коэффициент; \(b\) — второй коэффициент, или коэффициент при \(x\); \(c\) — свободный член.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен \(1\);
квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от \(1\).
Так, уравнение 3x2+5x−1=0 — неприведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен \(3\)),
а уравнение x2−2x+1=0 — приведённое квадратное уравнение.
 
Кроме приведённых и неприведённых квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты \(b\) и \(c\) отличны от нуля.
 
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов \(b, c\) равен нулю.
Об ax2 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной \(x\) называют также корнем квадратного трёхчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ax2+bx+c=0 — это такое значение \(x\), подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство \(0 = 0\).
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1. Если уравнение имеет вид ax2=0, то оно имеет один корень: \(x=0\)
 
2. Если уравнение имеет вид ax2+bx=0, то используется метод разложения на множители: \(x(ax + b) = 0\); значит, либо \(x = 0\), либо \(ax + b = 0\). В итоге получаем два корня: x1=0;x2=−ba
 
3. Если уравнение имеет вид ax2+c=0, то его преобразуют к виду ax2=−c и далее x2=−ca
 
В случае, когда −ca — отрицательное число, уравнение x2=−ca не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ax2+c=0).
В случае, когда −ca — положительное число, т. е. −ca=m, где \(m > 0\), уравнение x2=m имеет два корня: x1=m, x2=−m. В этом случае допускается более короткая запись: x1,2=±m.
Обрати внимание!
Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.
Вернуться в тему
Следующее задание