Теория:

Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число \(q\), называется геометрической прогрессией.
Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения \(n\) справедлива зависимость: bn+1=bnq.
 
Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель \(q\), то возможно найти любой член прогрессии.
b2=b1q;
b3=b2q=b1qq=b1q2;
b4=b1q3
и т. д.
 
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу:
bn \(=\) b1qn1, где 
\(n\) — порядковый номер члена прогрессии,
b1 — первый член последовательности,
\(q\) — знаменатель.
Пример:
вычислить первые пять членов геометрической прогрессии и написать формулу нахождения \(n\)-го члена, если b1 \(=\) 8 и \(q = 0,5\).
b1 \(=\) 8;
  
b2=b1q \(=\) 8 ·0,5 \(=\) 4;
  
b3=b2q \(=\) 4 ·0,5 \(=\) 2;
  
b4=b3q \(=\) 2 ·0,5 \(=\) 1;
  
b5=b4q \(=\) 1 ·0,5 \(=\) 0,5;
 
bn \(=\) b1qn1;
  
bn \(=\) 80,5n1.
  
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии
  
Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии Sn можно найти, если вычислить её члены b1, b2\(...\) bn и затем их значения сложить.
 
Вычисляя сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии, удобнее использовать
\(1\)-ю формулу:
Sn =bnqb1q1,  где 
\(n\) — количество членов последовательности (порядковый номер),
b1 — первый член последовательности,
bn — \(n\)-ый член последовательности, 
\(q\) — знаменатель.
 
Решая задачи, удобнее использовать \(2\)-ю формулу:
Sn =b1(qn1)q1.
Пример:
вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b1 \(= 8\) и \(q= 0,5\).  
 
I вариант
Рассмотрев первый пример, видим:
b1 \(= 8\), b2 \(=\) 4, b3 \(=\) 2, b4 \(=\) 1 и b5 \(=\) 0,5.
Сложив пять этих чисел, получим сумму (первых пяти членов последовательности):
Sn \(=\) S5 \(=\) b1 \(+\) b2 \(+\) b3 \(+\) b4 \(+\) b5 \(=\) 8+4+2+1+0,5 \(=\) 15,5.
  
II вариант
Используется \(1\)-я формула:
Sn =bnqb1q1, где
\(n = 5\);
b1 \(=8\);
\(q = 0,5\);
bn \(=\) b5 \(= 0,5\)     (т. к. \(n = 5\)).
  
S5 \(=\) (0,5 ·0,58)(0,51) \(=\) 15,5.
  
III вариант
Используется \(2\)-я формула:  
Sn =b1(qn1)q1.
  
S5 \(=\) 8(0,551)0,51 \(=\) 15,5
 
Как видите, все три варианта решения приводят к одному и тому же результату.  
Сумма первых пяти членов прогрессии равна S5 \(=\) 15,5.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой \(|q| < 1\).
Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа.
S=b11q,q1.
 
Пример:
переведи периодическую дробь \(0,(8)\) в обыкновенную дробь.
Решение.
Достаточно очевидно, что \(0,(8)=0,8+0,08+0,008+…\) Мы пришли к сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \(0,8\) и знаменателем \(0,1\). Применив формулу суммы, получаем
S=b11q=0,810,1.
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
0,810,1=0,80,9=89.
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь \(0,(8)\) обращается в обыкновенную дробь \(8/9\).
Ответ: \(0,(8)=8/9\).