Теория:

Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число \(q\), называется геометрической прогрессией.
Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения \(n\) справедлива зависимость: bn+1=bnq
  
Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель \(q\), то возможно найти любой член прогрессии.
b2=b1q
b3=b2q=b1qq=b1q2
b4=b1q3
и т.д.
 
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу:
bn\(=\)b1qn1, где 
\(n\)- порядковый номер члена прогрессии,
b1- первый член последовательности,
\(q\)- знаменатель.
Пример:
Вычислить первые пять членов геометрической прогрессии и написать формулу нахождения \(n\)-го члена, если b1\(=\)8 и \(q = 0,5\).
b1\(=\)8
  
b2=b1q\(=\)8 ·0,5\(=\)4
  
b3=b2q\(=\)4 ·0,5\(=\)2
  
b4=b3q\(=\)2 ·0,5\(=\)1
  
b5=b4q\(=\)1 ·0,5\(=\)0,5
 
bn\(=\)b1qn1
  
bn\(=\)80,5n1
  
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии
  
Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии Sn можно найти, если вычислить её члены b1, b2, \(...\), bn и затем их значения сложить.
  
Вычисляя сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии, удобнее использовать
1-ю формулу:
Sn=bnqb1q1,  где 
\(n\)- количество членов последовательности (порядковый номер),
b1- первый член последовательности,
bn- \(n\)-ый член последовательности, 
\(q\)- знаменатель.  
 
Решая задачи, удобнее использовать 2-ю формулу:
Sn=b1(qn1)q1
Пример:
Вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b1\(= 8\) и \(q= 0,5\).  
 
I вариант
Рассмотрев первый пример, видно:
b1\(= 8\), b2\(=\)4, b3\(=\)2, b4\(=\)1 и b5\(=\)0,5.
Сложив пять этих чисел, получится сумма (первых пяти членов последовательности):
Sn\(=\)S5\(=\)b1\(+\)b2\(+\)b3\(+\)b4\(+\)b5\(=\)8+4+2+1+0,5\(=\)15,5
  
II вариант
Используется 1-я формула:
Sn=bnqb1q1, где
\(n = 5\)
b1\(=8\)
\(q = 0,5\)
bn\(=\)b5\(= 0,5\)     (т.к. \(n = 5\))
  
S5\(=\)(0,5 ·0,58)(0,51)\(=\)15,5
  
III вариант
Используется 2-я формула:  
Sn=b1(qn1)q1
  
S5\(=\)8(0,551)0,51\(=\)З 15,5 
 
Как видите, все три варианта решения приводят к одному и тому же результату.  
Сумма первых пяти членов прогрессии равна S5\(=\)15,5.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой \(|q| < 1\).
Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .
S=b11q,q1
 
Пример:
Переведи периодическую дробь \(0,(8)\) в обыкновенную дробь.
Решение.
Достаточно очевидно, что \(0,(8)=0,8+0,08+0,008+…. \)Мы пришли к сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \(0,8\) и знаменателем \(0,1\). Применив формулу суммы, получаем
S=b11q=0,810,1
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
0,810,1=0,80,9=89
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь \(0,(8)\) обращается в обыкновенную дробь \(8/9\). Ответ: \(0,(8)=8/9\).