Теория:

Итак, мы рассмотрели функцию y=kx для случая, когда \(k= 1\). Пусть теперь \(k\) - положительное число, отличное от \(1\), например \(k = 2\).
Рассмотрим функцию y=2x и составим таблицу значений этой функции:
\(x\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(-2\)\(4\)12\(-4\)\(-\)12
\(y\)\(2\)\(1\)\(-2\)\(-1\)12\(4\)\(-\)12\(-4\)
 
Построим данные точки на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведём её.
 
1_5.png
 
Как и график функции y=1x, эту линию называют гиперболой.
Рассмотрим теперь случай, когда \(k < 0\); пусть, например, \(k = - 1\). Построим график функции y=1x (здесь \(k = - 1\)).
График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). В частности, это значит, что график функции \(y = - f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). В частности, это значит, что график функции y=1x, симметричен графику y=1x относительно оси абсцисс. Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвёртом координатных углах.
 
1_6.png
 
Вообще, графиком функции y=kx, k0 является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если \(k > 0\), и во втором и четвёртом координатных углах, если \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Обычно говорят, что две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если они связаны соотношением \(xy = k\) (где \(k\) — число, отличное от \(0\)), или, что то же самое, y=kx.
По этой причине функцию y=kx называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией \(y= kx\), которую называют прямой пропорциональностью).
 
Число \(k\) — коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства функции y=kx при \(k > 0\)
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу
 
1_3.png
 
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
3. Функция убывает на промежутках ;0 и 0;+;
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках ;0 и 0;+ и претерпевает разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей ;00;+.
Свойства функции y=kx при \(k < 0\)
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу
 
1_7.png
 
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
3. Функция возрастает на промежутках ;0 и 0;+;
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках ;0 и 0;+ и претерпевает разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей ;00;+.