2. Свойства функции y=k/x и её график

Итак, мы рассмотрели функцию $y=\frac{k}{x}$ для случая, когда \(k= 1\). Пусть теперь \(k\) — положительное число, отличное от \(1\), например, \(k = 2\).

Рассмотрим функцию $y=\frac{2}{x}$ и составим таблицу значений этой функции:

 

Построим данные точки на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведём её.

 

 

Рассмотрим теперь случай, когда \(k < 0\); пусть, например, \(k = - 1\). Построим график функции $y=\frac{1}{x}$ (здесь \(k = - 1\)).

График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). В частности, это значит, что график функции $y=-\frac{1}{x}$ симметричен графику $y=\frac{1}{x}$ относительно оси абсцисс. Таким образом мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвёртом координатных углах.

 

 

Вообще графиком функции $y=\frac{k}{x}$ ($k\ne 0$) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если \(k > 0\), и во втором и четвёртом координатных углах, если \(k < 0\).

Обычно говорят, что две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если они связаны соотношением \(xy = k\) (где \(k\) — число, отличное от \(0\)), или, что то же самое, $y=\frac{k}{x}$.

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу.

 

 

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме \(x = 0\).

2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).

3. Функция убывает на промежутках $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\text{ и }\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\text{ и }\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ и претерпевает разрыв при \(x = 0\).

7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу.