Теория:
Итак, мы рассмотрели функцию для случая, когда \(k= 1\). Пусть теперь \(k\) - положительное число, отличное от \(1\), например \(k = 2\).
Рассмотрим функцию и составим таблицу значений этой функции:
\(x\) | \(1\) | \(2\) | \(-1\) | \(-2\) | \(4\) | \(-4\) | \(-\) | |
\(y\) | \(2\) | \(1\) | \(-2\) | \(-1\) | \(4\) | \(-\) | \(-4\) |
Построим данные точки на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведём её.

Как и график функции , эту линию называют гиперболой.
График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). В частности, это значит, что график функции , симметричен графику относительно оси абсцисс. Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвёртом координатных углах.

Вообще, графиком функции , является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если \(k > 0\), и во втором и четвёртом координатных углах, если \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Обычно говорят, что две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если они связаны соотношением \(xy = k\) (где \(k\) — число, отличное от \(0\)), или, что то же самое, .
По этой причине функцию называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией \(y= kx\), которую называют прямой пропорциональностью).
Число \(k\) — коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства функции при \(k > 0\)

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
3. Функция убывает на промежутках ;
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках и претерпевает разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей .
Свойства функции при \(k < 0\)

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
3. Функция возрастает на промежутках ;
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках и претерпевает разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей .