Теория:

Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) < g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) — рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной \(x\) и с помощью математических действий,
т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.
 
При решении рациональных неравенств применяют правила, которые используются при решении линейных и квадратных неравенств. 
 
С помощью равносильных преобразований рациональное неравенство приводят к виду \(h(x)<0\), где \(h(x)\) — алгебраическая дробь или многочлен — и применяют метод интервалов.
 
Пример:
решить неравенство x2+32x27x4>0.
Решение
1. Найдём корни квадратного трёхчлена 2x27x4
и разложим его на множители по формуле ax2+bx+c=axx1xx2:
2x27x4=0;D=b24ac=72424=49+32=81;x1=bD2a=78122=794=24=12=0,5;x2=b+D2a=7+8122=7+94=164=4;2x27x4=2x+0,5x4;2x+0,5x4=0:2;x+0,5x4=0;x1=0,5;x2=4.
 
2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях \(x\)
выражение x2+3, при этом знак неравенства \(>\) не поменяется:
x2+3x+0,5x4:x2+3>0:x2+3;x2+3x+0,5x41x2+3>0;x2+31x+0,5x4x2+3>0;1x+0,5x4>0.
 
3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.
Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.
46_t01.png
На интервале ;0,5 возьмём \(x=-2\), тогда 222724=24+144=18>0.
На интервале 0,5;4 возьмём \(x=0\), тогда 202704=004=4<0.
На интервале 4;+ возьмём \(x=5\), тогда 252754=225354=5039=11>0.
 
Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах ;0,5 и 4;+.
 
Ответ: ;0,5 и 4;+.