1. Рациональные уравнения

Теория:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
 
Если \(r(x)\) — рациональное выражение, то уравнение \(r(x) = 0\) называют рациональным уравнением.
Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида \(h(x) = q(x)\), где \(h(x)\) и \(q(x)\) — рациональные выражения.
 
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению.
 
Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейному, но и к квадратному уравнению.
 
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример:
Решить уравнение 2xx−3+112=3x.
Перепишем уравнение в виде 2xx−3+112−3x=0.
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства \(A = B\) и \(A - B = 0\) выражают одну и ту же зависимость между \(A\) и \(B\). Это и позволило нам перенести член 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем 2x(2xx−3+11(x(x−3)2−3(2(x−3)x=2x⋅2x+11xx−3−6x−32xx−3=4x2+11x2−33x−6x+182xx−3=15x2−39x+182xx−3=35x2−13x+62xx−3.
Таким образом, мы преобразовали заданное уравнение к виду 35x2−13x+62xx−3=0
 
Вспомним условия равенства дроби нулю: ab=0 тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
 
1. числитель дроби равен нулю \((а = 0)\);
2. знаменатель дроби отличен от нуля: b≠0 
 
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим
35x2−13x+6=05x2−13x+6=0x1,2=13±132−4⋅5⋅610=13±169−12010=13±710x1=13+710=2;x2=13−710=35=0,6
 
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение b≠0 означает для уравнения, что 2xx−3≠0→x≠0;x≠3. Значения x1=2;x2=0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения.
 
Ответ: \(2; 0,6\).
Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.
 
Опираясь на решённый пример, сформулируем следующий алгоритм.
Алгоритм решения рационального уравнения
1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
 
2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)q(x)
 
3. Решить уравнение \(p(x)=0\)
 
4. Для каждого корня уравнения \(p(x)=0\) сделать проверку: удовлетворяет ли он условию qx≠0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.
Вернуться в тему
Следующая теория