Теория:
Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если \(r(x)\) — рациональное выражение, то уравнение \(r(x) = 0\) называют рациональным уравнением.
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению.
Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейному, но и к квадратному уравнению.
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример:
решить уравнение .
Перепишем уравнение в виде .
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства \(A = B\) и \(A - B = 0\) выражают одну и ту же зависимость между \(A\) и \(B\). Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем
Таким образом, мы преобразовали заданное уравнение к виду .
Вспомним условия равенства дроби нулю: — тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
1. числитель дроби равен нулю \((а = 0)\);
2. знаменатель дроби отличен от нуля: .
Приравняв к нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения, что . Значения указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения.
Ответ: \(2; 0,6\).
Опираясь на решённый пример, сформулируем следующий алгоритм.
Алгоритм решения рационального уравнения
2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби .
3. Решить уравнение \(p(x)=0\).
4. Для каждого корня уравнения \(p(x)=0\) сделать проверку: удовлетворяет ли он условию или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень, и в ответ его включать не следует.