3. Метод интервалов

Теория:

Часто удобно при решении квадратных неравенств использовать метод интервалов.

Рассмотрим этапы метода интервалов:
- находят корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c и раскладывают на множители;
- отмечают на числовой прямой корни трёхчлена и находят знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале;
- выбирают интервал, соответствующий знаку неравенства и записывают ответ.
Пример:
Решить неравенство. 2x2−7x−4≤0
Решение. Найдём корни квадратного трёхчлена 2x2−7x−4 
и разложим его на множители по формуле ax2+bx+c=ax−x1x−x2
2x2−7x−4=0D=b2−4ac=−72−4⋅2⋅−4=49+32=81x1=−b−D2a=−−7−812⋅2=7−94=−24=−12=−0,5x2=−b+D2a=−−7+812⋅2=7+94=164=42x2−7x−4=2x+0,5x−42x+0,5x−4=0:2x+0,5x−4=0x1=−0,5x2=4
 
Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.
Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.
interv3.png
На интервале −∞;−0,5 возьмём \(x=-2\), тогда 2⋅−22−7⋅−2−4=2⋅4+14−4=18>0
 
На интервале  −0,5;4 возьмём \(x=0\), тогда 2⋅02−7⋅0−4=0−0−4=−4<0
 
На интервале 4;+∞ возьмём \(x=5\), тогда 2⋅52−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0
 
Квадратный трёхчлен принимает отрицательные и равные нулю значения на интервале −0,5;4.
Ответ: −0,5≤x≤4
Предыдущая теория
Вернуться в тему
Следующее задание