Теория:

Основные свойства неопределённого интеграла:
 
1. f(x)dx=f(x)
2. F(x)dx=F(x)+C
3. kf(x)dx=kf(x)dx, если k0
4. f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx
 
Доказательства этих свойств.
(Обозначим первообразную функции \(f(x)\) как \(F(x)\) - т.е. F(x)=f(x) или f(x)dx=F(x)+C. Так же G(x)=g(x))
 
Доказательство первого свойства:
f(x)dx=F(x)+C=F(x)=f(x)
 
Доказательство второго свойства:
F(x)dx=f(x)dx=F(x)+C
 
Доказательство третьего свойства:
kf(x)dx=kF(x)dx=(kF(x))dx=kF(x)+C=k(F(x)+C)=kf(x)dx
(Здесь было использовано то, что при делении постоянной на ненулевую постоянную, в результате также получается постоянная.)
 
Доказательство четвёртого свойства:
f(x)±g(x)dx=F(x)±g(x)dx=F(x)±G(x)dx=F(x)±G(x)+C==F(x)+Cf±G(x)+Cg=f(x)dx±g(x)dx
(Здесь было использовано то, что складывая или вычитая две постоянные, получается постоянная).