Теория:

Основные свойства неопределённого интеграла:
 
1. f(x)dx=f(x);
2. F(x)dx=F(x)+C;
3. kf(x)dx=kf(x)dx, если k0;
4. f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx.
 
Доказательства этих свойств
(Обозначим первообразную функции \(f(x)\) как \(F(x)\) — т. е. F(x)=f(x), или f(x)dx=F(x)+C. Так же G(x)=g(x).)
 
Доказательство первого свойства:
f(x)dx=F(x)+C=F(x)=f(x).
 
Доказательство второго свойства:
F(x)dx=f(x)dx=F(x)+C.
 
Доказательство третьего свойства:
kf(x)dx=kF(x)dx=(kF(x))dx=kF(x)+C=k(F(x)+C)=kf(x)dx
(Здесь было использовано то, что при делении постоянной на ненулевую постоянную в результате также получается постоянная).
 
Доказательство четвёртого свойства:
f(x)±g(x)dx=F(x)±g(x)dx=F(x)±G(x)dx=F(x)±G(x)+C==F(x)+Cf±G(x)+Cg=f(x)dx±g(x)dx.
(Здесь было использовано то, что, складывая или вычитая две постоянные, получаем постоянную).