Теория:

Пусть функция \(u=g(x)\) определена на множестве \(X\) и \(U\) — область ее значений.
Пусть, далее, функция \(y=f(u)\) определена на множестве \(U\).
Поставим в соответствие каждому \(x\) из \(X\) число \(f(g(x))\).
Тем самым на множестве \(X\) будет задана функция \(y=f(g(x))\).
Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Если известна производная функции \(f(x)\), то производную сложной функции \( f(u)\) можно вычислить с помощью следующей формулы:

(f(u))=f(u)u
 
Пример:
1) Вычислить производную функции (x+2)10. Обозначим u=x+2.
Так как x10=10x9, тоx+210=(u10)=10u9u=10x+291=10x+29
 
2) Вычислить производную функции f(x)=sin(cosx). Обозначим u=cosx.
(sinx)=cosx, поэтому
(sin(cosx))=(sinu)=cosuu==cos(cosx)(cosx)==cos(cosx)(sinx)==cos(cosx)sinx
 
3) Вычислить производную функции lncosx2. Обозначим u=cosx2.
(lnx)=1x, поэтому lncosx2=lnu=1uu=uu=(cosx2)cosx2.
Таким же образом вычислим производную функции cosx2. Снова обозначим u=x2.
cosx2=cosu=sinuu=sinx2(x2)=2xsinx2.
Далее, вставив полученное выражение, получается
 (lncosx2)=2xsinx2cosx2=2xtgx2
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно обосновать правило дифференцирования обратной функции.
Зная производную функции \(y=f(x)\), можно производную обратной функции \(x=g(y)\) найти по формуле:
xy=1yx
(разумеется, при условии, что f(x)0).