Теория:

Теорема 1

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\), то и их сумма имеет производную в точке \(x\), причём производная суммы равна сумме производных:

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x).

Теорема 2

Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x\), то и функция \(y=kf(x)\) имеет производную в точке \(x\), причём:

(kf(x))=kf(x).

Теорема 3

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\), то и их произведение имеет производную в точке \(x\), причём:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x).

На практике эту теорему формулируют так:

производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) имеют производную в точке \(x\) и в этой точке g(x)0, то и функция y=f(x)g(x) имеет производную в точке \(x\), причём:

f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x).

Короче:

(k1u+k2v)=k1u+k2v;(uv)=uv+uv;uv=uvuvv2.

Пример:
u=x2;v=sinx;1.(2x23sinx)=2(x2)3(sinx)=22x3cosx=4x3cosx;2.(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx;3.x2sinx=(x2)sinxx2(sinx)(sinx)2=2xsinxx2cosxsin2x.