Теория:

Функция y=kx
Мы познакомимся с новой функцией — функцией y=kx.
Коэффициент \(k\) может принимать любые значения, кроме \(k = 0\). Рассмотрим сначала случай, когда \(k = 1\); таким образом, сначала речь пойдёт о функции y=1x.
 
Чтобы построить график функции y=1x, дадим независимой переменной \(x\) несколько конкретных значений и вычислим (по формулe y=1x) соответствующие значения зависимой переменной \(y\). Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.
 
Первый этап. Если \(x = 1\), то \(y = 1\) (напомним, что мы пользуемся формулой y=1x);
если  \(x = 2\), то y=12;
если \(x = 4\), то y=14;
если \(x = 8\), то y=18;
если x=12, то \(y = 2\);
если x=14, то \(y = 4\);
если x=18 , то \(y = 8\).
 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
 
\(x\)\(1\)\(2\)\(4\)\(8\)121418
\(y\)\(1\)121418\(2\)\(4\)\(8\)
 
Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).
 
1_1.png
 
Второй этап.
если  \(x = -1\), то \(y = -1\);
если \(x = -2\), то y=12;
если \(x= -4\), то y=14;
если \(x = -8\), то y=18;
если x=12, то \(y = -2\);
если x=14, то \(y = -4\);
еслиx=18, то \(y = -8\).
 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
\(x\)\(-1\)\(-2\)\(-4\)\(-8\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18
\(y\)\(-1\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18\(-2\)\(-4\)\(-8\)
 
Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).
 
1_2.png
 
А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков сделаем один.
 
1_3.png
 
Это и есть график функции y=1x, его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.
 
Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат \(O\) и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки \(O\), но на равных расстояниях от неё. Это присуще, в частности, точкам \((1; 1)\) и \((- 1; - 1)\), 2;12 и 2;12 и т. д.
 
Значит, \(O\) — центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.
Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.
 
В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит всё ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.
Значит, график функции y=1x, т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось \(x\) и ось \(y\).
Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить ещё одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»).
 
Обрати внимание!
У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.
В самом деле, построим прямую \(y = x\).
 
1_4.png
 
Теперь смотрите: точки 2;12 и 12;2 расположены по разные стороны от проведённой прямой, но на равных расстояниях от неё. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках 4;14 и 14;4,8;18 и 18;8 и т.д.  Значит, прямая \(y =x\) — ось симетрии гиперболы y=1x ( равно как и \(y = -x\)).