Теория:

В плоскости прямая и окружность могут пересекаться или не пересекаться. При пересечении могут иметь одну или две общие точки.
 
1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то у прямой и окружности общих точек нет.
 
Taisnes_nov2.png
 
2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то у прямой и окружности две общие точки.
 
Taisnes_nov.png
 
В этом случае прямую называют секущей окружности.
Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.
3. Если расстояние от центра окружности до прямой равна радиусу, то у прямой и окружности одна общая точка.
 
Taisnes_nov1.png
 
В этом случая прямую называют касательной к окружности.
Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Pieskares_ip.png
 
Предположим, что радиус \(OA\) не перпендикулярен к прямой, но является наклонной. Тогда из точки \(O\) можно провести перпендикуляр к прямой, который будет короче радиуса. А это означает, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, и у прямой и окружности должны быть две общие точки. Но это противоречит данной информации, наше предположение неверно.
Если из точки к окружности проведены две касательные, то
а) длины отрезков касательных от этой точки до точки касания равны,
б) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.
Pieskaru_ip.png
 
Пусть \(AB\) и \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\).
Требуется доказать, что \(AB = AC\) и \(OA\) является биссектрисой угла \(A\).
 
Треугольники \(OBA\) и \(OCA\) — прямоугольные, так как касательные перпендикулярны к радиусам в точках \(B\) и \(C\). Сторона \(OA\) — общая. Катеты \(OB\) и \(OC\) равны как радиусы одной и той же окружности. Треугольники равны по гипотенузе и катету, отсюда равны и катеты \(AB\) и \(AC\) и углы \(BAO\) и \(CAO\), то есть делит угол по пополам.