Условие задания:

0 Б.
Дана система двух уравнений
 
x2+ky2=z2,kx2+y2=t2.
 
а) Имеет ли система решение в натуральных числах при \(к=2\)?
 
б) Верно ли, что при \(к=5\) система не имеет решение в натуральных числах?
 
в) Найди какое-нибудь решение в натуральных числах при \(к=7\).
 
а) Предположим, что наша система имеет решение в натуральных числах \(x, y,z,t\). Мы можем здесь предположить, что \(x\) и \(y\) взаимно просты, так как если бы был общий делитель \(d\), мы бы разделили обе части наших уравнений на d2.
Итак, по крайней мере одно из чисел \(x\) и \(y\) является нечётным. Но нечётными не могут быть оба числа, так как тогда левые части наших уравнений при делении на \(4\) давали бы в остатке \(3\), что несовместимо с тем, что они являются квадратами. Однако если, например, \(x\) — чётное число, то \(y\) не может быть нечётным, так как тогда левая часть первого уравнения при делении на \(4\) давала бы в остатке \(2\), что несовместимо с тем, что она является квадратом. Таким образом, в любом случае получаем противоречие.
 
б) Как и в п. а будем считать, что \(x\) и \(y\) взаимно просты. Имеем систему
 
x2+5y2=z2,5x2+y2=t2.
 
Складывая почленно наши уравнения, получим 6x2+y2=z2+t2, откуда следует, что z2+t2 делится на \(3\). Так как квадрат целого числа, не делящегося на \(3\), даёт в остатке \(1\), то числа \(z\) и \(t\) не могут быть оба не делящимися на \(3\). Но так как  z2+t2 делится на \(3\), то если одно из чисел \(z\), \(t\) делится на \(3\), то и другое делится на \(3\).
Итак, оба числа \(z\) и \(t\) делятся на \(3\), и, следовательно, правая часть равенства 6x2+y2=z2+t2 делится на \(9\). Но тогда z2+t2 делится на \(3\), и, значит, оба числа \(x\) и \(y\) делятся на \(3\) вопреки предположению, что эти числа взаимно просты.
 
в) Решением уравнений
 
x2+7y2=z2,7x2+y2=t2
 
в целых числах могут быть, например, числа \(x=3\), \(y=1\), \(z=4\), \(t=5\).