Условие задания:

0 Б.
Пример:
пусть число A=a13+a23+...+ak3, где \(k\) — натуральное число, все ai — целые числа.
 
а) Верно ли, что если A делится на \(9\), то хотя бы одно из ai (\(i=1\), \(2...\) k) делится на \(3\)?
 
б) Верно ли, что при \(\)k\(\)=\(3\), если A делится на \(9\), то хотя бы одно из ai \((i=1, 2, 3)\) делится на \(3\)?
 
в) Какой наибольший остаток от деления числа A на \(9\) можно получить при \(\)k\(\)=\(5\), если ни одно из чисел ai \((i=1, 2, 3, 4, 5)\) не делится на \(3\)?
 
а) Рассмотрим, например, при k=\(2\). Тогда имеем, что A=a13+a23 делится на \(9\).
 
Но, например, в варианте A=23+43=72 ни \(2\), ни \(4\) не делятся на \(3\).
 
Поэтому высказывание неверно.
 
б) Имеем: A=a13+a23+a33 делится на \(9\).
Куб целого числа, не делящегося на \(3\), даёт при делении на \(9\) в остатке \(1\) или \(-1\).
 
Если бы ни одно из целых чисел ai \((i=1, 2, 3)\) не оказалось бы делящимся на \(3\), то число A=a13+a23+a33 
 
при делении на \(9\) давало бы остаток ±1±1±1, который ни при одной комбинации знаков не является числом, кратным \(9\).
 
Значит, хотя бы одно из ai делится на \(3\).
 
в) Аналогично предыдущим рассуждениям в п. б число A=a13+a23+a33+a43+a53 
 
при делении на \(9\) даёт остаток ±1±1±1±1±1.
 
Максимальное значение этого остатка — \(5\).