Теория:

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
 
Examp11121212le.jpg
Пример:
У вавилонян узловыми являлись числа \(1, 10, 60\); в римской системе счисления узловые числа — это \(1, 5, 10, 50, 100, 500\) и \(1000\), обозначаемые соответственно I, V, Х, L, С, D, М.
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
 
  • унарная система;
  • непозиционные системы;
  • позиционные системы.
 
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.
В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек.
Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.
 
Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления — пример позиционной системы счисления.
Алфавит десятичной системы составляют цифры \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются.
Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».
 
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число \(q > 1\). Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием \(q\) служат числа \(0, 1, ..., q -1\), каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является \(0\).
 
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
 
В позиционной системе счисления с основанием \(q\) любое число может быть представлено в виде:
Aq=±an1qn1+an2qn2+...+a0q0+a1q1+...+amqm.
 
Здесь:
\(А\) — число;
\(q\) — основание системы счисления; 
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; 
\(n\) — количество целых разрядов числа;
\(m\) — количество дробных разрядов числа; 
qi — «вес» \(i\)-го разряда.
Запись числа по формуле называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±an1an2...a1a0...am.
Пример:
Рассмотрим десятичное число \(14351,1\). Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения: 1104+4103+3102+5101+1100+1101.
Источники:
Босова Л. Л., Босова А. Ю., Информатика: учебник для 8 класса. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 5 с.