Теория:

Пример:
имеются \(48\) конфет «Чебурашка» и \(36\) конфет «Ласточка». Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из этих конфет?
 
Решая такую задачу, найдём все делители числа \(48\) и числа \(36\).
Для \(48\) это: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(6\); \(8\); \(12\); \(16\); \(24\); \(48\).
Для \(36\) это: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(6\); \(9\); \(12\); \(18\); \(36\).
Общими делителями этих чисел будут: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(6\); \(12\).
Наибольшим является число \(12\).
 
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа \(m\) и \(n\), называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначают: \(НОД(m; n)\).
Так, в задаче \(НОД(48; 36) = 12\).
 
Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел можно найти, не выписывая все делители этих чисел.
Правило отыскания \(НОД\):
  
1. разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
48=22223=243;36=2233=2232;НОД(48;36)=223=12.
Пример:
найдём \(НОД(20; 27)\).
 
Разложив на множители каждое из этих чисел, получим:
20=225=225;27=333=33.
 
Значит, у данных чисел нет других общих множителей, кроме \(1\), т. е. число \(1\) — единственный общий делитель данных чисел.
\(НОД(20; 27) = 1\).
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен
\(1\).
Числа \(20\) и \(27\) — взаимно простые.
 
Признак делимости на произведение взаимно простых чисел:
если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Пример:
число \(540\) делится как на \(20\), так и на \(27\). Значит, \(540\) будет делиться и на их произведение, т. е. 540:(2027)=540:540=1.