Теория:

Пример:
Имеется \(48\) конфет «Чебурашка» и \(36\) конфет «Ласточка». Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из этих конфет?
 
Решая такую задачу, найдём все делители числа \(48\) и числа \(36\)
Для \(48\) это: \(1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\)
Для \(36\) это: \(1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\)
Общими делителями этих чисел будут: \(1; 2; 3; 4; 6; 12\)
Наибольшим является число \(12\) 
 
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа \(m\) и \(n\), называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначают \(НОД(m; n)\).
Так, в задаче \(НОД(48; 36) = 12\).
 
Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел можно найти, не выписывая всех делителей этих чисел.
Правило отыскания \(НОД\):
  
1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
48=22223=24336=2233=2232НОД(48;36)=223=12
Пример:
Найдём \(НОД(20; 27)\)
 
Разложив на множители каждое из этих чисел, получим:
20=225=22527=333=33
 
Значит, у данных чисел нет других общих множителей, кроме \(1\), т.е. число \(1\) единственный общий делитель данных чисел.
 \(НОД(20; 27) = 1\)
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен
\(1\).
Числа \(20\) и \(27\) — взаимно простые.
 
Признак делимости на произведение взаимно простых чисел:
Если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Пример:
Число \(540\) делится как на \(20\), так и на \(27\). Значит, \(540\) будет делиться и на их произведение, т.е. 540:(2027)=540:540=1