Теория:

Решим такую задачу.
Пример:
Разделим \(738\) конфет поровну на \(9\) человек, не выполняя вычислений, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.
В числе \(738\) содержится \(7\) сотен, \(3\) десятка и \(8\) единиц.
 
Если делить поровну на \(9\) человек одну сотню конфет, то каждый получит по \(11\) конфет и \(1\) конфета останется. А от семи сотен останется \(7\) конфет.
Если делить поровну на \(9\) человек один десяток конфет, то каждый получит по \(1\) конфете и \(1\) конфета останется. А от трёх десятков останется \(3\) конфеты.
 
Неразделёнными останутся \(7\) конфет от сотен, \(3\) конфеты от десятков и ещё \(8\) конфет. Всего неразделёнными остались  \(7 + 3 + 8 = 18\) конфет, которые делятся поровну на \(9\) человек.
Ещё по \(2\) конфеты каждому.
 
Значит, число \(738\) делится без остатка на \(9\), а \(7 + 3 + 8\) — это сумма цифр этого числа.
Признак делимости на \(9\) звучит так: 
натуральное число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда делится на \(9\) сумма его цифр.
Пример:
Число \(747\) делится на \(9\), т.к. сумма цифр числа \(7 + 4 + 7 = 18\) делится на \(9\).
Аналогично проводятся рассуждения при определении делимости чисел на число \(3\).
 
Признак делимости на \(3\) звучит так: 
натуральное число делится на \(3\) тогда и только тогда, когда делится на \(3\) сумма его цифр.
Пример:
Число \(71445\) делится на \(3\), т.к. сумма цифр числа \(7 + 1 + 4 + 4 + 5 = 21\) делится на \(3\).
Источники:
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович  Математика. 6 класс.  Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009.