Теория:

Рациональные числа — это числа вида mn , где m - целое число, а n - натуральное число.
Множество рациональных чисел принято обозначать буквой .
 
Выполняется соотношение , поскольку любое число \(m\) можно представить в виде  m1.
Итак, можно сказать, что
рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
 
Любая десятичная дробь как частный случай обыкновенной дроби тоже является рациональным числом.
Для рациональных чисел кроме указанной выше записи mn можно использовать другой вид записи, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь 511 и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\) .
Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\) .
Для числа 511  - воспользуемся методом "деления углом":
 
ugol1.png
Как видите,  после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(45, 45, 45\), .... Таким образом, 511 \(= 0,454545...\).
Короче это записывают так: \(0,(45)\).
Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь —  бесконечной десятичной периодической дробью.
  
Число \(7\) также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Так же обстоит дело и с числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Чтобы все было аккуратно, говорят так: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.

Вообще любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Пример:

Пример:

Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

а) \(1,(47)\)      б) \(1,3(47)\).

Решение
а) Пусть \(x  = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\) .
Умножим \(x\) на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число \(x\) нужно умножить на \(100\). Получим:
\(100x = 147,474747...\) .
Следовательно,
_ \(100x = 147,474747...  \)
           \( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
 \(99x = 146\)
\( x=\)14699.
Итак, \( 1,(47) =\) 14699 \(= 1\) 4799.
 
б) Пусть \( x = 1,3(47) = 1,3474747... \). Сначала умножим \( x \)на \(10\), чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: \(10x = 13,474747...\) . Теперь число \(10x\) умножим на \(100\) — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:
\(1000x = 1347,474747...\) .
Имеем:
_\(1000x = 1347,474747...\)
       \(10x = 13,474747... \)
__________________________
  \( 990x = 1334\);
\(x =\) 1334990 \(=\) 667495 \(= 1\) 172495.
Источники:
Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа 10 класс (профильный уровень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.