Теория:

В очень простом эксперименте можно установить, что, какой бы ни была окружность, отношение её длины к диаметру является постоянным числом.
  •  необходима гибкая рулетка для измерения;
  •  несколько разных круглых предметов (тарелки, вазы);
  •  нужно измерить длину окружности вокруг предмета;
  •  надо хотя бы округлённо измерить диаметр окружности;
  •  вычислить округлённое деление длины окружности на длину диаметра окружности (выбрать любое число цифр за запятой).
Конечно, результаты будут немного отличаться (измерения очень не точные), но будет заметно, что всегда результат — число около \(3\).
 
Если провести более точные измерения, то можно найти более точное значение деления. Это число принято обозначать буквой π (читается как «пи»).
Чаще всего используют приближенное значение числа π\(3.14 \) 
Более точное его значение  π\(3,1415926535897932   \)
Но цифр за запятой намного больше, и они никогда не повторяются. Благодаря развитию вычислительной техники, совсем недавно стало возможно распечатать довольно много цифр числа π:
 
Pi.jpg
Мы имеем формулу для вычисления длины окружности, если известен диаметр: C=πd.
Если вспомним, что d=2r, то формула длины окружности будет выглядеть так: C=2πr.
 
Как же вычислить площадь круга? Один из подходов для определения формулы:
представим, что круг перерезан на половину, и каждая из половин поделена на равные части (на рисунке ниже):
 
Untitled1.png
 
Из частей сложим прямоугольник со сторонами \(r\) и π\(r\).
 
Untitled2.png
 
Для более точного результата уменьшим части круга, чтобы сложенная фигура была как можно больше похожа на прямоугольник.
 
Untitled.png
 
Видим, что площадь круга вычисляется по формуле S=πr2.