Теория:

НЕ пишется слитно
1. Если слово не употребляется без частицы НЕ:
нельзя, ненастье, ненавистный и т.п.
 
2. С именами существительными, прилагательными, наречиями, если они посредством НЕ образуют новое слово:
неблизко (= далеко), немало (= много);
 
3. В отрицательных наречиях:
негде, некуда и т.п.;
 
4. В отрицательных и неопределенных местоимениях без предлога:
некто, некий, некого и т.д.;
 
5. В глаголах с приставкой недо-:
недобрать, недоедать;
  
Обрати внимание!
От глаголов с приставкой недо-, обозначающих несоответствие требуемой норме, необходимо отличать глаголы с приставкой до- и частицей НЕ, обозначающие действие, не доведенное до конца.
Ср.: Ему недоставало счастья. — Он не доставал до выключателя.
6. С полными причастиями, при которых нет зависимых (пояснительных) слов:
невспаханное поле, невыдуманная история, незаконченное собрание.
НЕ пишется раздельно
1. С глаголами и деепричастиями:
не смотрит, не глядя;
Исключения: нейдет, неймет, неймется.
Ср.: Видит око, да зуб неймет.
 
2. С полными причастиями, если при них есть зависимое (пояснительное) слово:
не выполненное в срок задание, не прочитанная учеником книга;
 
3. С краткими причастиями:
задача не решена, трава не скошена;
 
4. С именами существительными, прилагательными и наречиями на , когда есть противопоставление или когда оно подразумевается:
он не солдат, а офицер;
дом не высокий, а низкий;
самолет летел не высоко, а низко;
платье не дорогое, его можно купить;
  
5. С именами прилагательными и наречиями на , если есть пояснительные слова
вовсе, далеко, отнюдь или любые формы, включающие частицу ни:
вовсе не безопасный, далеко не близкий, отнюдь не святой;
нисколько не дорогой, ничем не привлекательный;
 
Обрати внимание!
Если есть пояснительные слова — обстоятельства меры и степени (весьма, крайне, очень и т.п.), — частица НЕ с именами прилагательными и наречиями на пишется слитно:
крайне неловкий человек, совершенно неприлично.
6. С числительными, местоимениями, усилительными наречиями:
не трое, не нам, не нужно.
Частица НИ пишется слитно
1. В местоимениях без предлогов:
никто, ничто, никому, ничей, никакой
(ср.: ни с кем, ни о чём, ни с чьим и т.д.);
  
2. В наречиях:
никогда, ниоткуда, никуда и т.д.
НИ пишется раздельно
НИ пишется раздельно во всех других случаях:
ни одного человека не было видно;
ни за грош;
ни рыба ни мясо и т.д.
 
Обрати внимание!
Следует различать выражения никто иной; ничто иное; не кто иной, как; не что иное, как.
Ср.: Никто иной не смог бы повторить этот трюк. (А. Грин);
Первый был не кто иной, как Михаил Александрович Берлиоз. (М. Булгаков)
Источники:
Гольцова Н.Г., Шамшин И.В., Мищерина М.А. Русский язык. 10-11 классы. Учебник. - М.: 2011. – 448 с.