Теория:

1. После буквы ц обычно пишутся буквы у,а,е: царство, цена, цукаты.
  
2. Буквы э, ю, я после ц встречаются только в иноязычных словах: Друцэ, Цюрих, Цяньнань и т. д.
 
3. После ц пишется о в слове цокать и его производном цокотуха, а также в некоторых иноязычных словах: герцог, меццо, палаццо и др.
 
4. После ц в корне слов пишется буква и: панцирь, циркуль, моцион.
  
Обрати внимание!
Исключения: цыган, на цыпочках, цыпленок, цыц, цыкнуть, цып-цып
5. В суффиксах и окончаниях после ц:
- под ударением пишется буква о: молодцом, пританцовывать;
- без ударения пишется буква е: лисицей, танцевать, солнце, колодцем.
 
6. В окончаниях имён существительных и имён прилагательных после ц пишется ы: птицы, танцы; краснолицый, куцый.
 
7. В суффиксе -ый- имён прилагательных после ц пишется буква ы: птицын, лисицын, синицын  
Иногда в именах собственных в этом суффиксе возможно написание и, что обусловлено традицией: может быть и Вицын, и Вицин.
Источники:
Гольцова Н.Г., Шамшин И.В., Мищерина М.А. Русский язык. 10-11 классы. Учебник. - М.: 2011.