Теория:

1. После приставок, оканчивающихся на гласную букву, в соответствии с произношением пишется и.
Пример:
переиграть, поиск, архиинтересный
2. После приставок меж- и сверх-  пишется буква и.
Пример:
межинститутский, сверхинтересный
В слове взимать после приставки вз- также пишется буква и в соответствии с произношением.
 
3. После русских приставок, оканчивающихся на согласную, вместо буквы и пишется ы.
Пример:
предыстория, розыгрыш, подытожить
4. После всех заимствованных приставок, оканчивающихся на согласную (дез-, контр-, пан-, пост-, суб-, супер-, транс-), пишется буква и.
Пример:
дезинформация, контригра, суперинтендант, постимпрессионизм
5. Правописание и после приставок не распространяется на написание сложносокращённых слов, первая часть которых оканчивается на согласную. После первой части таких слов пишется буква и.
Пример:
спортинвентарь, спортигра, фининспектор
Источники:
Гольцова Н.Г., Шамшин И.В., Мищерина М.А. Русский язык. 10-11 классы. Учебник. - М.: 2011.