Арккосинус и уравнение cos x=a — урок. Алгебра, 10 класс.

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Уравнения вида

\sin x = a, \cos x = a, tg x = a, ctg x = a

называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение

\cos x = a

Если

|a| > 1

, то уравнение

\cos x = a

не имеет корней.

Например, уравнение

\cos x = - 1,5

не имеет корней.

Если

|a| \leq 1

, то корни уравнения выражаются формулой

x = \pm \arccos a + 2 π k, k \in ℤ

Что же такое

\arccos a

? Арккосинус в переводе с латинского означает «дуга и косинус». Это обратная функция.

Если

|a| \leq 1

, то

\arccos a

(арккосинус

a

) — это такое число из отрезка

[0; π]

, косинус которого равен

a

Говоря иначе:

\arccos a = x \Rightarrow \cos x = a, |a| \leq 1, x \in [0; π]

Пример:

найти

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}

Выражение

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}

показывает, что косинус угла

x

равен

\frac{\sqrt{2}}{2}

(

\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:

число, являющееся значением оси

x

, соответствует точке

\frac{π}{4}

на числовой окружности.

Значит,

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}

Обрати внимание!

Если

\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

, то

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}

В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором — наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Теорема. Для любого