Числовая окружность в координатной плоскости.

Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности $A$ совмещена с точкой $(1;0)$.

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

Точка

M (\frac{π}{4})

— середина $I$ четверти.

Опустим перпендикуляр $MP$ на прямую $OA$ и рассмотрим треугольник $OMP$.

Так как дуга $AM$ составляет половину дуги $AB$, то

∡ MOP = 45 °

Значит, треугольник $ OMP $ — равнобедренный прямоугольный треугольник и $OP = MP$, т. е. у точки $M$ абсцисса и ордината равны: $x = y$.

Координаты точки $M(x;y)$ удовлетворяют уравнению числовой окружности

x^{2} + y^{2} = 1

Поэтому их найдём из системы уравнений:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x = y \end{cases}

Заменим в первом уравнении $y$ на $x$:

\begin{array}{l} x^{2} + x^{2} = 1; \\ 2 x^{2} = 1; \\ x^{2} = \frac{1}{2}; \\ x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \\ y = x = \frac{\sqrt{2}}{2} . \end{array}

Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки $M$ больше нуля.

Получили, что координаты точки $M$, соответствующей числу

\frac{π}{4}

, будут

M (\frac{π}{4}) = M (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

	$0$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{4}$	$π$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{7 π}{4}$	$2 π$
Абсцисса $x$	$1$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
Ордината $y$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$

Рассуждаем аналогично для точки $M$, если теперь она соответствует числу

\frac{π}{6}

Треугольник $MOP$ прямоугольный. Так как дуга $AM$ составляет третью часть дуги $AB$, то

∡ MOP = 30 °

Катет $MP$ лежит против угла $30$ градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки $M$ равна

\begin{array}{l} MP = \frac{1}{2}; \\ y = \frac{1}{2} \end{array}

Абсциссу $x$ точки $M$ найдём, решив уравнение:

x^{2} + y^{2} = 1

;

\begin{array}{l} x^{2} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}; \\ x = \frac{\sqrt{3}}{2} . \end{array}

При решении учитываем, что абсцисса точки $M$ положительна.

Получили, что координаты точки $M$, соответствующей числу

\frac{π}{6}

, будут

M (\frac{π}{6}) = M (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{11 π}{6}$
Абсцисса $x$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ордината $y$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{1}{2}$

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

3. Числовая окружность в координатной плоскости.

Теория: