Теория:
Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.
Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.
![]() | Точка — середина \(I\) четверти. Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\). Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то . Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\). Координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности , Поэтому их найдём из системы уравнений: |
Заменим в первом уравнении \(y\) на \(x\):
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки \(M\) больше нуля.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу , будут .
Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности |
\(0\) | |||||||||
Абсцисса \(x\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | ||||
Ордината \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу .
![]() | Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то . Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна |
Абсциссу \(x\) точки \(M\) найдём, решив уравнение:
;
При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу , будут .
Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности |
Абсцисса \(x\) | ||||||||
Ордината \(y\) |