Теория:
Перед тем как начать подробное ознакомление с формулами преобразования тригонометрических выражений, поясним, для чего вообще нужны преобразования тригонометрических выражений.
Дело в том, что очень часто тригонометрические выражения даже самого «устрашающего» вида после несложных преобразований довольно легко приводятся к выражениям с табличным значением аргумента — таким, например, как: ... или к таким выражениям, решение которых найти гораздо проще, чем решение исходного тригонометрического выражения.
В этом и заключается основная цель преобразования тригонометрических выражений — привести заданное выражение к такому виду, чтобы найти его решение было проще.
Формул преобразования тригонометрических выражений несколько. Основными и наиболее важными считаются формулы синуса и косинуса суммы аргументов, так как из них легко выводятся остальные формулы тригонометрии.
Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически довольно сложно, и оно не входит в базовый курс обучения.
Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово «аргументов» из названий формул — это общепринятая практика — и, говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности), будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности) аргументов этих функций.
Формула синуса суммы: . (1)
Формула косинуса суммы: . (2)
Рассмотрим теперь выражение в таком виде: — и воспользуемся формулой синуса суммы (1): .
Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинус: —
и свойстве нечётности функции синус: .
Тогда:
.
Формула синуса разности: . (3)
и свойствами чётности функции косинус ,
и нечётности функции синус .
Тогда получим:
.
Формула косинуса разности: . (4)