Формулы тангенса суммы и разности аргументов

Формулы тангенса суммы и разности углов устанавливают соотношение между тангенсом общей суммы или разности аргументов и тангенсами отдельных аргументов — слагаемых.

При всех допустимых значениях аргументов справедливы формулы:

тангенса суммы аргументов:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

; (\(1\))

тангенса разности аргументов:

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

. (\(2\))

Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т. е. выполняются условия:

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α + β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

, для формулы (\(1\)),

α - β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

, для формулы (\(2\)).

Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике — особенно в радиотехнике.

Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенса и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.

Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем: