4. Формулы тангенса суммы и разности аргументов

Теория:

Формулы  тангенса  суммы  и  разности  углов устанавливают соотношение между тангенсом  общей  суммы  или  разности  аргументов и тангенсами  отдельных  аргументов — слагаемых.
 
При всех допустимых значениях аргументов справедливы формулы:
   тангенса  суммы  аргументов:          tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ;  (1)
 
   тангенса  разности  аргументов:      tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ.  (2)
Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т. е. выполняются условия:
 
α≠π2+πk,β≠π2+πnk,n∈ℤ, 
α+β≠π2+πm,m∈ℤ,  для формулы (1), α−β≠π2+πm,m∈ℤ,  для формулы (2).
 
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике — особенно в радиотехнике.  
 
Вывод формул естественным образом получается из определения функции  тангенса и использования уже известных формул синуса  и  косинуса  суммы  и  разности  аргументов.  
 
Докажем формулу тангенса  суммы  аргументов. Имеем:
 
 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ.
 
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на cosα⋅cosβ,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и что cosα⋅cosβ≠0 из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т. е. α≠π2+πk,β≠π2+πnk,n∈ℤ. Тогда:
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ
— что и требовалось доказать.
 
Аналогично доказывается формула тангенса  разности  аргументов:
 
tg(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ.
Предыдущая теория
Вернуться в тему
Следующая теория
Copyright © 2023 ООО ТЕОРЕМА ЗНАНИЙ