Теория:
Пусть точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), тогда
абсцисса точки \(M\) равна косинусу числа \(t\) (записывают \(cos\) \(t\)),
а ордината точки \(M\) равна синусу числа \(t\) (записывают\(sin\) \(t\)).

Если
тогда
Поэтому
(см. рис.).
Отношение синуса числа \(t\) к косинусу того же числа называют тангенсом числа \(t\) и обозначают \(tg t\).
Отношение косинуса числа \(t\) к синусу того же числа называют котангенсом числа \(t\) и обозначают \(ctg t\).
Из уравнения числовой окружности , заменяя \(x\) и \(y\) на \(cos\) \(t\) и \(sin\) \(t\), получаем равенство
.
Отметим также несколько важных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Свойство \(1\). Для любого числа \(t\):
Свойство \(2\). Для любого числа \(t\):
Свойство \(3\). Для любого числа \(t\):
В общем виде:
Свойство \(4\). Для любого числа \(t\):
Для синуса и косинуса есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности.
Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.
Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке \(A\).
Эту касательную \(l\) будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось \(y\), и с началом в точке \(A\) (см. рис.).
![]() | Из подобия треугольников \(OMK\) и \(OPA\) следует равенство: Т. е. \(PA = tg t\) |
Итак, если числу \(t\) соответствует на числовой окружности точка \(M\), то, проведя прямую \(OM\),
получим в пересечении её с числовой прямой \(l\) точку \(P\), которая имеет на числовой прямой \(l\) координату \(tg\) \(t\).
Числовую прямую \(l\) называют линией тангенсов.
Аналогично можно ввести линию котангенсов — числовая прямая \(m\) с началом в точке \(B\) (см. рис.).
