3. Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс.

Тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника определяются так:

\begin{array}{l} tg α = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет} tg α = \frac{a}{b}; \\ ctg α = \frac{прилежащий катет}{противолежащий катет} ctg α = \frac{b}{a} \end{array}

Чтобы считать значение тангенса угла поворота, через точку $(1;0)$ проводится касательная к единичной окружности. Эта прямая называется осью тангенса. Значения тангенса читаются с оси $Oy$
Чтобы считать значение котангенса угла поворота, через точку $(0;1)$ проводится касательная к единичной окружности. Прямая называется осью котангенса. Значения котангенса читаются с оси $Ox$

Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.

Знаки тангенса и котангенса в квадрантах определяются с использованием уже известных знаков синуса и косинуса и основных тригонометрических тождеств:

tg α = \frac{\sin α}{\cos α}

;

ctg α = \frac{\cos α}{\sin α}

\frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \frac{(-)}{(+)} = (-) \frac{(+)}{(-)} = (-)

Чтобы определить знак:

1. на единичной окружности отмечается данный угол поворота;
2. определяется знак синуса;
3. определяется знак косинуса;
4. определяется знак частного.

На рисунке пример, как определить знак тангенса угла в $IV$ квадранте

Знаки тангенса и котангенса в квадрантах не различаются.

На рисунке даны знаки тангенса и котангенса в квадрантах

Важно уметь считывать с единичной окружности следующие значения тангенса и котангенса:

$tg$ $0^{\circ}=0$;

$tg$ $90^{\circ}$ не существует;

$tg$ $180 ^{\circ}=0$;

$tg$ $270^{\circ}$ не существует;

$tg$ $360^{\circ}=0$

$ctg$ $0 ^{\circ}$ не существует;

$ctg$ $90^{\circ}=0$;

$ctg$ $180^{\circ}$ не существует;

$ctg$ $270^{\circ}=0$;

$ctg$ $360 ^{\circ}$ не существует

Значения тригонометрических функций, которые нужно знать наизусть:

	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$sin$ $α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$ $α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$ $α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

$ctg$

α

\sqrt{3}

$1$

\frac{\sqrt{3}}{3}

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

3. Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс.

Теория: