Свойства степени с рациональным показателем

Если \(a>0, b>0\), \(s\) и \(t\) — произвольные рациональные числа, то верны следующие свойства:

\begin{array}{l} a^{s} \cdot a^{r} = a^{s + r}; \\ a^{s} : a^{r} = a^{s - r}; \\ {(a^{s})}^{r} = a^{s \cdot r}; \\ {(a \cdot b)}^{s} = a^{s} \cdot b^{s}; \\ {(\frac{a}{b})}^{s} = \frac{a^{s}}{b^{s}} . \end{array}

Пример:

1) Упростить:

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}}

Решение:

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{7} + \frac{3}{5}} = x^{\frac{10}{35} + \frac{21}{35}} = x^{\frac{10 + 21}{35}} = x^{\frac{31}{35}}

2) Упростить:

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}}

Решение:

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}} = z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = z^{\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5}} = z^{\frac{3}{10}}

3) Упростить выражение:

{(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}}

.
Решение:

раскроем скобки по формуле сокращённого умножения:

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} + {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} . \end{array}

Запишем корень \(5\) степени в виде степени и применим свойство степени произведения:

2 \sqrt[5]{uv} = 2 \cdot {(uv)}^{\frac{1}{5}} = 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} = 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}}

Преобразуем выражение:

\frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = {(\sqrt[5]{v})}^{2} = {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = v^{\frac{2}{5}}

Подставим найденные значения в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = (u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}}) - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = u^{\frac{2}{5}} . \end{array}

Нашёл ошибку?

2. Свойства степени с рациональным показателем