Теория:
Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой
\(y = kx + b\), где \(x\) — независимая переменная, \(k\) и \(b\) — некоторые числа.
Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).
Пусть \(y = 0,5x - 2\).
Тогда:
при \(x = 0\) получим \(y = - 2\);
при \(x = 2\), получим \(y = - 1\);
при \(x = 4\), получим \(y = 0\) и т. д.
Результаты заносим в таблицу:
\(x\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
\(y\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
\(x\) — независимая переменная (или аргумент),
\(y\) — зависимая переменная (или функция).
Графиком линейной функции \(y = kx + b\) является прямая.
Построим в системе координат \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.

В жизни существует множество ситуаций, которые можно описать математической моделью с помощью линейных функций.
Пример:
на овощной базе хранится \(700\) т картофеля. Каждый день запасы пополняют на \(30\) т. Сколько картофеля станет на овощной базе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?
Получается, что линейная функция \(y = 30x + 700\) является математической моделью данной задачи.
При \(x = 2\) имеем \(y = 760\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 820\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 1000\) и т. д.
Если функцию \(y = kx + b\) надо исследовать только для значений \(x\) из некоторого множества \(X\), то записывают .
Пример:
построить график линейной функции:
a) ; b) .
\(x\) | \(-6\) | \(3\) |
\(y\) | \(-1\) | \(2\) |
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-6;-1)\) и \((3;2)\) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции .
Точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.

b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-6\) и \(x=3\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-6;3)\).
Поэтому точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
В случае
a) , имеем: \(= 2\) и \(= -1\);
b) , концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Если \(k>0\), то линейная функция \(y = kx + b\) возрастает;
если \(k<0\), то линейная функция \(y = kx + b\) убывает.