Теория:

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой
\(y = kx + m\), где \(x\) — независимая переменная, \(k\) и \(m\) — некоторые числа.
Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).
Пусть \(y = 0,5x - 2\).
Тогда:
при  \(x = 0\) получим \(y = - 2\);
при  \(x = 2\), получим \(y = - 1\);
при  \(x = 4\), получим \(y = 0\) и т. д.
 
Результаты заносим в таблицу:
\(x\)\(0\)\(2\)\(4\)
\(y\)\(-2\)\(-1\)\(0\)
\(x\) — независимая переменная (или аргумент),
\(y\) — зависимая переменная.
Графиком линейной функции \(y = kx + m\) является прямая.
Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.
 
Построим в системе координат \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.
 
lineara1.png
 
В жизни существует множество ситуаций, которые можно описать математической моделью с помощью линейных функций.
Пример:
на овощной базе хранится \(700\) т картофеля. Каждый день запасы пополняют на \(30\) т. Сколько картофеля станет на овощной базе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?
 
После \(x\) дней количество \(y\) картофеля на овощной базе можно записать в виде формулы \(y = 700 + 30x\).
 
Получается, что линейная функция \(y = 30x + 700\) является математической моделью данной задачи.
При \(x = 2\) имеем \(y = 760\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 820\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 1000\) и т. д.
Однако надо учитывать, что в этой ситуации x.
Если функцию \(y = kx + m\) надо исследовать только для значений \(x\) из некоторого множества \(X\), то записывают y=kx+m,xX.
Пример:
построить график линейной функции:
a) y=13x+1,x6;3;  b) y=13x+1,x6;3.
 
Составим таблицу значений функции:
\(x\)\(-6\)\(3\)
\(y\)\(-1\)\(2\)
 
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-6;-1)\) и \((3;2)\) и
проведём через них прямую.
 
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции y=13x+1,x6;3.
Точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
 
рисунок 2.png
 
b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-6\) и \(x=3\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-6;3)\). 
Поэтому точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
 
рисунок 3.png
 
По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
 
В случае
a) y=13x+1,x6;3, имеем: yнаиб \(= 2\) и yнаим \(= -1\);
b) y=13x+1,x6;3, концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
В ходе построения графиков линейных функций можно как бы «подниматься в горку» или «спускаться с горки», т. е. линейная функция или возрастает, или убывает.
Если \(k>0\), то линейная функция  \(y = kx + m\) возрастает;
если \(k<0\), то линейная функция  \(y = kx + m\) убывает.