Теория:

Представление многочлена в виде произведения \(2\) и более множителей называют разложением многочлена на множители.
К примеру, x2+ x 6 — многочлен представлен в виде суммы одночленов. Если его разложить на множители, то многочлен будет иметь вид:
\((x - 2) (x + 3)\), где \(x - 2\) и \(x + 3\) — множители.
Пример:
задание. Разложить число \(24\) на два множителя различными способами.
 
Решение:
 
24=212;24=38;24=46.
Рассмотрим \(3\) способа разложения многочлена на множители.
 
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен \(4n\) \(–\) \(8m\).

Решение: \(4n\) \(–\) \(8m = 4(n\) \(–\) \(2m)\).
Получили разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки: \(4\) и \(n-2m\).
2. Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.

Решение: 36n249m2=62n272m2=(6n)2(7m)2=(6n7m)(6n+7m).
3. Метод группировки.
Пример:
заданиеРазложить на множители многочлен.   
 
Решение: 40nm+8n5m1=(40nm5m)+(8n1)=5m(8n1)+(8n1)=(8n1)(5m+1).
Данное преобразование (разложение на множители) актуально при решении уравнений, неравенств и в ряде других вычислительных задач.
Пример:
задание. Преобразовать выражение.

Решение: 49n2(7+n)(12n)=72n2(7+n)(12n)=(7n)(7+n)(7+n)(12n)=7n12n;
– числитель разложили на множители, применив формулу «разность квадратов»;
– сократили дробь на общий множитель \(7+ n\).
Пример:
задание. Решить уравнение:
 
8x2+16xx2=0;(8x2+16x)(x+2)=0;8x(x+2)¯1(x+2)¯=0;(x+2)¯(8x1)=0;
8x1=0;8x=1;x1=0,125; или x+2=0;x=2;x2=2.
 
Ответ: \(-2;0,125\);
– выполнили группировку первого со вторым и третьего с четвёртым членом;
– в первой скобке вынесли общий множитель \(8x\), во второй — \(-1\);
– вынесли общий множитель \(x+2\) за скобки.
 
В следующих темах мы познакомимся более детально с каждым из способов разложения многочлена на множители.