Теория:
Представление многочлена в виде произведения \(2\) и более множителей называют разложением многочлена на множители.
К примеру, — многочлен представлен в виде суммы одночленов. Если его разложить на множители, то многочлен будет иметь вид:
\((x - 2) (x + 3)\), где \(x - 2\) и \(x + 3\) — множители.
\((x - 2) (x + 3)\), где \(x - 2\) и \(x + 3\) — множители.
Пример:
задание. Разложить число \(24\) на два множителя различными способами.
Решение:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен \(4n\) \(–\) \(8m\).
Решение: \(4n\) \(–\) \(8m = 4(n\) \(–\) \(2m)\).
Получили разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки: \(4\) и \(n-2m\).
2. Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: .
3. Метод группировки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: .
Данное преобразование (разложение на множители) актуально при решении уравнений, неравенств и в ряде других вычислительных задач.
Пример:
задание. Преобразовать выражение.
Решение: ;
– числитель разложили на множители, применив формулу «разность квадратов»;
– сократили дробь на общий множитель \(7+ n\).
– сократили дробь на общий множитель \(7+ n\).
Пример:
задание. Решить уравнение:
или
Ответ: \(-2;0,125\);
– выполнили группировку первого со вторым и третьего с четвёртым членом;
– в первой скобке вынесли общий множитель \(8x\), во второй — \(-1\);
– вынесли общий множитель \(x+2\) за скобки.
– в первой скобке вынесли общий множитель \(8x\), во второй — \(-1\);
– вынесли общий множитель \(x+2\) за скобки.
В следующих темах мы познакомимся более детально с каждым из способов разложения многочлена на множители.