Использование различных приемов для разложения многочлена на множители

Разложить многочлен на множители можно, применяя последовательно несколько способов.

Удобно применять следующий порядок:
– если есть общий множитель, то вынести его за скобку;
– разложить многочлен на множители с помощью формул сокращённого умножения, если это возможно

(в многочлене два или три одночлена)

\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b); \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + {ab + b}^{2}); \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - {ab + b}^{2}); \\ a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}; \\ a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}; \end{array}

– попробовать разложить на множители способом группировки.

Пример:

разложи многочлен на множители:

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5}

Решение:

коэффициенты \(3\), \(24\) и \(48\) делятся на \(3\);

z^{5}, z^{3}

и \(z\) делятся на \(z\);

t^{3}, t^{4}

t^{5}

делятся на

t^{3}

Поэтому за скобки можно вынести

3 z t^{3}

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5} = 3 z t^{3} (z^{4} - 8 z^{2} t + 16 t^{2}) = 3 z t^{3} {(z^{2} - 4 t)}^{2} .

В скобках использовали формулу сокращённого умножения (квадрат разности).

Применили два способа:
– вынесение общего множители за скобки;
– использование формулы сокращённого умножения — квадрат разности.

Пример:

задание. Разложи многочлен на множители:

c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2}

Решение.

\begin{array}{l} c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2} = c^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = c^{2} - {(a + b)}^{2} = \\ = (c - (a + b)) (c + (a + b)) = (c - a - b) (c + a + b) . \end{array}

Применили два способа:
– способ группировки;
– использование формул сокращённого умножения — квадрат суммы и разность квадратов.

Пример:

задание. Разложи многочлен на множители:

a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8

Решение.

\begin{array}{l} a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8 = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = (a^{3} - 2^{3}) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = \underset{⏟}{(a - 2)} (a^{2} + 2 a + 4) - 5 a \underset{⏟}{(a - 2)} = \underset{⏟}{(a - 2)} ((a^{2} + 2 a + 4) - 5 a) = \\ = (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4 - 5 a) = (a - 2) (a^{2} - 3 a + 4) . \end{array}

Применили три способа:
– способ группировки;
– вынесение общего множителя за скобки;

– использование формул сокращённого умножения — разность кубов.

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Использование различных приемов для разложения многочлена на множители

Теория: