Теория:
Выражения называются тождественно равными, если равны их соответственные значения при любых допустимых значениях переменных.
Например, тождественно равны выражения \(8(x + y)\) и \(8x + 8y\);
тождественно равны выражения и ,
а выражения и тождественно не равны.
а выражения и тождественно не равны.
Можно заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому.
Такая замена называется тождественным преобразованием.
Для тождественных преобразований можно использовать формулы сокращённого умножения, законы арифметики и т. д.
Чтобы доказать тождество, надо выполнить тождественные
преобразования одной или обеих частей равенства и получить слева
и справа одинаковые выражения.
преобразования одной или обеих частей равенства и получить слева
и справа одинаковые выражения.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством,
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при котором
получившиеся числовые выражения не будут равны друг другу.
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при котором
получившиеся числовые выражения не будут равны друг другу.
Пример:
доказать тождество: .
Решение:
выпишем отдельно левую часть равенства и преобразуем, т. е. попытаемся доказать, что она равна правой части.
При раскрытии скобок (обеих) знаки поменяем, т. к. перед скобками стоит знак минус.
.
Получили, что левая часть исходного равенства равна правой.
Значит, исходное равенство — тождество.