Построение графика квадратичной функции

Функция вида

y = a x^{2} + bx + c

, где \(a\), \(b\), \(c\) — реальные числа, \(a\)

\neq

\(0\), называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции \(D(f)\) — все действительные числа.

Рассмотрим для примера две квадратичные функции.

Пример 1.

y = x^{2} - 2 x - 1

(рис. \(1\)).

Пример 2.

y = - 2 x^{2} + 4 x

(рис. \(2\)).

Область значений функции \(E(f)\) считывается с графика, она зависит от координаты \(y\), вершины параболы и направления ветвей параболы.
\(1\) пример —

E (f) = [- 2; + \infty)

;
\(2\) пример —

E (f) = (- \infty; 2]

Параметр \(a\) определяет направление ветвей параболы:
если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример \(1\));
если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример \(2\)).

Параметр \(c\) указывает, в какой точке парабола пересекает ось \(Oy\).

Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы:

x_{0} = \frac{- b}{2 a} и y_{0}

— которую находят, подставив значение

x_{0}

в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;

3) определить направление ветвей параболы;

4) отметить точку пересечения параболы с осью \(Oy\);

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента \(x\).

Решив квадратное уравнение

a x^{2} + bx + c = 0

, получаем точки пересечения параболы с осью \(Ox\), или корни функции (если дискриминант \(D > 0\));

если \(D < 0\), то точек пересечения параболы с осью \(Ox\) не существует;

если \(D = 0\), то вершина параболы находится на оси \(Ox\).

Но не всегда точки пересечения с осью \(Ox\) являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из \(D\), то такие точки не используют для построения графика.

1. Построй график функции