Теория:
Функция вида , где \(a\), \(b\), \(c\) — реальные числа, \(a\) \(0\), называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Область определения функции \(D(f)\) — все действительные числа.
Область определения функции \(D(f)\) — все действительные числа.
Рассмотрим для примера две квадратичные функции.
Пример 1. (рис. \(1\)).
Пример 2. (рис. \(2\)).
Область значений функции \(E(f)\) считывается с графика, она зависит от координаты \(y\), вершины параболы и направления ветвей параболы.
\(1\) пример — ;
\(2\) пример — .
Параметр \(a\) определяет направление ветвей параболы:
если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример \(1\));
если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример \(2\)).
если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример \(1\));
если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример \(2\)).
Параметр \(c\) указывает, в какой точке парабола пересекает ось \(Oy\).
Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы: — которую находят, подставив значение в формулу функции;
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;
3) определить направление ветвей параболы;
4) отметить точку пересечения параболы с осью \(Oy\);
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента \(x\).
Решив квадратное уравнение , получаем точки пересечения параболы с осью \(Ox\), или корни функции (если дискриминант \(D > 0\));
если \(D < 0\), то точек пересечения параболы с осью \(Ox\) не существует;
если \(D = 0\), то вершина параболы находится на оси \(Ox\).
Но не всегда точки пересечения с осью \(Ox\) являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из \(D\), то такие точки не используют для построения графика.
1. Построй график функции .
Ветви параболы направлены вверх, т. к. \(a = 1 > 0\). Парабола пересекает ось \(Oy\) в точке \((0; -1)\).
Симметрично строим левую сторону параболы | ![]() Рис. \(1\). График функции |
2. Построй график функции .
В данном случае легко вычислить корни: Координаты вершины параболы: В таблице достаточно одного значения: если \(x = 3\), то . Симметрично, если \(x = -1\), то \(y = -6\) | ![]() |
Источники:
Изображения: графики функции. © ЯКласс.