1. Иррациональные уравнения

Рассмотрим иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1}=3$.

 

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что ${\sqrt{2x+1}}^2=3^2$. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению \(2x + 1 = 9\), возведя в квадрат обе части иррационального уравнения.

Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня?

 

Из уравнения \(2x + 1 = 9\) находим \(x = 4\). Это корень как уравнения \(2х + 1 = 9\), так и заданного иррационального уравнения.

 

Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям.

Рассмотрим, например, иррациональное уравнение $\sqrt{2x-5}=\sqrt{4x-7}$.

Возведя обе его части в квадрат, получим

Далее имеем: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).

 

Но значение \(x = 1\), хоть и является корнем рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив \(1\)  вместо \(x\) в заданное иррациональное уравнение, получим $\sqrt{-3}=\sqrt{-3}$.

 

Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой, и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла?

В подобных случаях говорят: \(x = 1\) — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

 

Посторонний корень — не новое для тебя понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка.

 

Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).

Используя этот вывод, рассмотрим пример.

Ты уже накопил некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Ты знаешь, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0$ уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.

 

Конечно, ты обратил внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить всё это с теоретической точки зрения.

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.

 

Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

 

1. перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

Например, замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\)  равносильны.

 

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Например, замена уравнения $\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{0,3}x=2$ уравнением $5x^2-3x=20$ (обе части уравнения умножили почленно на \(10\)) есть равносильное преобразование уравнения.

 

Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

 

1. освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения $\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2}$ уравнением $x^2=4$ есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение $x^2=4$ имеет два корня: \(2\) и \(- 2\) — а заданному уравнению значение \(x = 2\) удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: \(x = 2\) — посторонний корень.

 

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.