1. Иррациональные уравнения

 

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что ${\sqrt{2x+1}}^2=3^2$. По факту мы преобразовали заданное иррациональное уравнение к рациональному уравнению \(2x + 1 = 9\) путём возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения.

Очевидно, что другим способом мы не уйдём от иррациональности.

 

Решаем линейное уравнение \(2x + 1 = 9\), \(x = 4\). Найденное значение  \(x = 4\) является корнем и линейного уравнения \(2х + 1 = 9\), и заданного иррационального уравнения.

 

Чисто технически, метод возведения в квадрат является простым, однако имеет недостаток.

Рассмотрим решение уравнения $\sqrt{4x-25}=\sqrt{3x-19}$.

 

Возведём левую и правую части уравнения в квадрат:

 

 

Перенесём слагаемые с \(x\) в левую часть: \(4x - 3x = -19 +25\);  \(x = 6\).

 

Число \(6\) является решением уравнения \(4x - 3x = -19 +25\), но если подставим его вместо \(x\) в уравнение $\sqrt{4x-25}=\sqrt{3x-19}$, то получим $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$.

 

Имеем и в правой, и в левой частях равенства выражения, которые не имеют смысла. Получается, что числовое равенство не выполняется.

В таких случаях считают: \(x = 1\) — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение решений не имеет.

 

Посторонний корень — знакомый для тебя термин, посторонние корни «всплывают» при проверке, мы их встречали при решении рациональных уравнений.

 

Обязательным этапом при решении иррациональных уравнений является проверка. Именно проверка помогает распознать существующие посторонние корни и исключить их.

Используя этот вывод, рассмотрим пример.

Ты уже имеешь небольшой опыт в решении линейных, квадратных, рациональных, иррациональных уравнений. Тебе знакомо, что при решении уравнений производят различные виды преобразований, допустим следующие: перенос из одной части уравнения в другую с противоположным знаком членов уравнения; умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое не равное нулю число; «избавляются» от знаменателя, заменяя уравнение $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0$ уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.

 

Естественно, ты заметил, что в итоге некоторых преобразований иногда появлялись посторонние корни, поэтому нужно проявлять бдительность: выполнять проверку всех полученных корней. С точки зрения теории осмыслим всё сказанное.

Решая уравнения, стремятся заменить исходное уравнение на более простое, равносильное ему, т. е. выполнить равносильное преобразование уравнения.

 

Виды равносильных преобразований уравнения:

 

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

К примеру, преобразование уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) к виду \(2x - 7x = - 8 - 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\)  являются равносильными.

 

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое не равное нулю число.

К примеру, преобразование уравнения $\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{0,3}x=2$ к виду $5x^2-3x=20$ (обе части уравнения умножили почленно на \(10\)) есть равносильное преобразование уравнения.

 

Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

 

1. освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, уравнение $\frac{x^2}{x-3}=\frac{4}{x-3}$ заменить уравнением $x^2=9$ не является равносильным преобразование уравнения. Уравнение $x^2=9$ имеет два корня: \(3\) и \(- 3\) — а в заданном уравнении значение \(x = 3\) обращает знаменатель в нуль. Поэтому, \(x = 3\) является посторонним корнем.

 

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.