Теория:
Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.
Рассмотрим иррациональное уравнение .
Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что . Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению \(2x + 1 = 9\), возведя в квадрат обе части иррационального уравнения.
Обрати внимание!
Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений.
Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня?
Из уравнения \(2x + 1 = 9\) находим \(x = 4\). Это корень как уравнения \(2х + 1 = 9\), так и заданного иррационального уравнения.
Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям.
Рассмотрим, например, иррациональное уравнение .
Возведя обе его части в квадрат, получим
Далее имеем: \(2x - 4x = -7 +5\); \(x = 1\).
Но значение \(x = 1\), хоть и является корнем рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив \(1\) вместо \(x\) в заданное иррациональное уравнение, получим .
Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой, и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла?
В подобных случаях говорят: \(x = 1\) — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Посторонний корень — не новое для тебя понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка.
Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).
Обрати внимание!
Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку и отсеять возможные посторонние корни.
Пример:
реши уравнение .
Возведём обе части уравнения в квадрат: .
Преобразовываем и получаем:
Проверка. Подставив \(x = 5\) в уравнение , получим — верное равенство. Подставив \(x = 4\) в уравнение , получим — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения .
Конечно, ты обратил внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить всё это с теоретической точки зрения.
Два уравнения \(f (x) = g(x)\) и \(r(x) = s(х)\) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).
Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
Например, замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\) равносильны.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения уравнением (обе части уравнения умножили почленно на \(10\)) есть равносильное преобразование уравнения.
Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
Например, замена уравнения уравнением есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение имеет два корня: \(2\) и \(- 2\) — а заданному уравнению значение \(x = 2\) удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: \(x = 2\) — посторонний корень.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Обрати внимание!
Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.